Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2200

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если ограниченная функция

f(x)

интегрируема на сегменте

[a,b]

, то абсолютная величина её

|f(x)|

также интегрируема на

[a,b]

, причём

\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\,dx.

Доказано:Функция

|f(x)|

интегрируема на

[a;b]

, причём

\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leqslant\int_a^b|f(x)|\,dx

Доказательство

По неравенству треугольника

|f(x)|\leqslant|f(x)-f(y)|+|f(y)|

Отсюда

|f(x)|-|f(y)|\leqslant|f(x)-f(y)|

. Меняя

x

y

местами, получаем такую же оценку для противоположной разности. Поэтому на каждом частичном отрезке для любых точек

x

y

выполняется

\bigl||f(x)|-|f(y)|\bigr|\leqslant|f(x)-f(y)|

Следовательно, колебание функции

|f|

не превосходит колебания функции

f

\omega_i(|f|)\leqslant\omega_i(f)

Так как

f

интегрируема, для любого

\varepsilon>0

существует разбиение

P

, для которого

U(f,P)-L(f,P) =\sum_i\omega_i(f)\Delta x_i <\varepsilon

Для того же разбиения

\begin{aligned} U(|f|,P)-L(|f|,P) &=\sum_i\omega_i(|f|)\Delta x_i \leqslant\sum_i\omega_i(f)\Delta x_i <\varepsilon\end{aligned}

По критерию Дарбу функция

|f|

интегрируема. Из поточечных неравенств

-|f(x)|\leqslant f(x)\leqslant|f(x)|

и монотонности интеграла следует

-\int_a^b|f(x)|\,dx \leqslant\int_a^b f(x)\,dx \leqslant\int_a^b|f(x)|\,dx

что равносильно требуемому неравенству.

Что и требовалось доказать