Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2191

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2191

∫abdxx\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x} (0<a<b)(0<a<b).
Ответ:∫abdxx=ln⁡ba,0<a<b\int_a^b\dfrac{dx}{x}=\ln\dfrac ba,
\qquad 0<a<b

Решение

По условию0<a<b0<a<bпоэтому ba>1\frac ba>1. Интеграл нужно вычислить как предел интегральных сумм. Разобьём отрезок [a;b][a;b] точками геометрической прогрессииxi=aqni,qn=ban>1,i=0,1,…,nx_i=aq_n^i,
\qquad
q_n=\sqrt[n]{\dfrac ba}>1,
\qquad
i=0,1,\ldots,nТогда x0=ax_0=a, xn=bx_n=b, аΔxi=xi+1−xi=xi(qn−1)\Delta x_i=x_{i+1}-x_i=x_i(q_n-1)В качестве отмеченной точки на каждом отрезке возьмём его левый конец ξi=xi\xi_i=x_i. Соответствующая интегральная сумма равнаSn=∑i=0n−1Δxiξi=∑i=0n−1(qn−1)=n(qn−1)\begin{aligned}
S_n
&=\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{\Delta x_i}{\xi_i}
=\sum_{i=0}^{n-1}(q_n-1)
=n(q_n-1)
\end{aligned}Поскольку qn>1q_n>1, точки xix_i, а вместе с ними и длины Δxi=xi(qn−1)\Delta x_i=x_i(q_n-1), возрастают. Поэтому максимальным является последний частичный отрезок, причём его длина стремится к нулю:max⁡iΔxi=xn−xn−1=b(1−1qn)⟶0\max_i\Delta x_i
=x_n-x_{n-1}
=b\left(1-\dfrac1{q_n}\right)
\longrightarrow0Положим c=ln⁡ba>0c=\ln\frac ba>0. Тогда qn=ecnq_n=e^{\frac cn}. Используем основной предел eu−1u→1\frac{e^u-1}{u}\to1 при u→0u\to0:lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞n(ecn−1)=lim⁡n→∞cecn−1cn=c=ln⁡ba\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}S_n
&=\lim_{n\to\infty}n\left(e^{\frac cn}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}c\dfrac{e^{\frac cn}-1}{\frac cn}
=c
=\ln\dfrac ba
\end{aligned}
Демидович № 2191 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика