Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2188

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2188

\displaystyle\int_0^x\cos t\,dt

Ответ:

\int_0^x\cos t\,dt=\sin x, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Сначала считаем

x>0

. Разобьём отрезок

[0,x]

на

n

равных частей и выберем правые концы. Положим

h=\dfrac{x}{n}

Тогда

S_n=h\sum_{k=1}^{n}\cos(kh)

Используем тождество

2\sin\left(\dfrac h2\right)\cos(kh) =\sin\left(\left(k+\dfrac12\right)h\right) -\sin\left(\left(k-\dfrac12\right)h\right)

Суммируя его при

k=1,2,\ldots,n

, получаем

\begin{aligned} 2\sin\left(\dfrac h2\right)\sum_{k=1}^{n}\cos(kh) &=\sin\left(\left(n+\dfrac12\right)h\right) -\sin\left(\dfrac h2\right)=\\ &=\sin\left(x+\dfrac h2\right) -\sin\left(\dfrac h2\right)\end{aligned}

При достаточно больших

n

имеем

0<h<2\pi

, поэтому

\sin\frac h2>0

и на этот множитель можно делить. Следовательно,

S_n =\dfrac{h}{2\sin\left(\frac h2\right)} \left( \sin\left(x+\dfrac h2\right)-\sin\left(\dfrac h2\right) \right)

При

n\to\infty

величина

h\to0^+

, причём

\dfrac{h}{2\sin\frac h2} =\dfrac{\frac h2}{\sin\frac h2}\longrightarrow1

Выражение в скобках стремится к

\sin x

. Поэтому

\begin{aligned} \int_0^x\cos t\,dt &=\lim_{n\to\infty}S_n=\\ &=1\cdot(\sin x-0)=\sin x\end{aligned}

При

x=0

равенство очевидно. Если

x<0

, изменим порядок пределов и в интеграле от

x

до

0

выполним замену

u=-t

. Учитывая чётность косинуса и уже доказанный случай с положительным верхним пределом, получаем

\begin{aligned} \int_0^x\cos t\,dt &=-\int_x^0\cos t\,dt=\\ &=-\int_0^{-x}\cos u\,du=-\sin(-x)=\sin x\end{aligned}