Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2202

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2202

Пусть функция f(x)f(x) интегрируема на [a,b][a,b] и A≤f(x)≤BA\le f(x)\le B при a≤x≤ba\le x\le b, а функция φ(x)\varphi(x) определена и непрерывна на сегменте [A,B][A,B]. Доказать, что функция φ(f(x))\varphi(f(x)) интегрируема на [a,b][a,b].
Доказано:Функция φ(f(x))\varphi(f(x)) интегрируема на отрезке [a,b][a,b].

Доказательство

Обозначимg(x)=φ(f(x))g(x)=\varphi(f(x))По условию значения ff принадлежат [A,B][A,B], поэтому композиция определена. Непрерывная на отрезке [A,B][A,B] функция φ\varphi равномерно непрерывна и ограничена. ПоложимM=max⁡u∈[A,B]∣φ(u)∣M=\max_{u\in[A,B]}|\varphi(u)|Имеем ∣g(x)∣⩽M|g(x)|\leqslant M, то есть композиция ограничена. Если M=0M=0, то g(x)=0g(x)=0, поэтому утверждение выполнено. Далее считаем M>0M>0.

Возьмём произвольное ε>0\varepsilon>0. По равномерной непрерывности φ\varphi существует δ>0\delta>0 такое, что∣u−v∣<δ⟹∣φ(u)−φ(v)∣<ε2(b−a)|u-v|<\delta
\quad\Longrightarrow\quad
|\varphi(u)-\varphi(v)|<\dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}Поскольку ff интегрируема, по критерию Дарбу существует разбиениеP:a=x0<x1<…<xn=bP:\quad a=x_0<x_1<\ldots<x_n=bдля которогоU(f,P)−L(f,P)<εδ4MU(f,P)-L(f,P)
<\dfrac{\varepsilon\delta}{4M}Пусть ωi\omega_i — колебание ff на отрезке [xi−1,xi][x_{i-1},x_i], а Ωi\Omega_i — колебание gg на том же отрезке. Колебание — это разность верхней и нижней граней функции на данном отрезке. Разделим промежутки на две группы: на одних колебание ff мало, а общую длину остальных оценим через суммы Дарбу. Обозначим через B\mathcal B множество индексов, для которых ωi≥δ\omega_i\ge\delta.

Если ωi<δ\omega_i<\delta, то для любых x,y∈[xi−1,xi]x,y\in[x_{i-1},x_i] выполняется∣f(x)−f(y)∣<δ|f(x)-f(y)|<\deltaи поэтомуΩi≤ε2(b−a)\Omega_i\le\dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}Для промежутков с индексами из B\mathcal B получаемδ∑i∈B(xi−xi−1)≤∑i∈Bωi(xi−xi−1)≤U(f,P)−L(f,P)<εδ4M\begin{aligned}
\delta\sum_{i\in\mathcal B}(x_i-x_{i-1})
&\le\sum_{i\in\mathcal B}
\omega_i(x_i-x_{i-1})\le U(f,P)-L(f,P)
<\dfrac{\varepsilon\delta}{4M}
\end{aligned}Следовательно,∑i∈B(xi−xi−1)<ε4M\sum_{i\in\mathcal B}(x_i-x_{i-1})
<\dfrac{\varepsilon}{4M}На промежутках с индексами из B\mathcal B достаточно оценки Ωi≤2M\Omega_i\le2M. ПоэтомуU(g,P)−L(g,P)=∑i=1nΩi(xi−xi−1)<ε2(b−a)(b−a)+2Mε4M=ε\begin{aligned}
U(g,P)-L(g,P)
&=\sum_{i=1}^{n}\Omega_i(x_i-x_{i-1})<\dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)
+2M\dfrac{\varepsilon}{4M}=\varepsilon
\end{aligned}Для каждого ε>0\varepsilon>0 найдено разбиение, на котором разность верхней и нижней сумм Дарбу не превосходит ε\varepsilon. По критерию Дарбу функция φ(f(x))\varphi(f(x)) интегрируема на [a,b][a,b].

Что и требовалось доказать

Демидович № 2202 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика