Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2198

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть функция

f(x)

интегрируема на

[a,b]

f_n(x)=\sup f(x)\quad\text{при }x_i\le x<x_{i+1},

где

x_i=a+\frac in(b-a)\quad(i=0,1,\dots,n;\ n=1,2,\dots).

Доказать, что

\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx.

Доказано:

\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx =\int_a^b f(x)\,dx

Доказательство

Положим

h_n=\dfrac{b-a}{n}

и обозначим через

P_n

равномерное разбиение из условия. В точке

x=b

значение ступенчатой функции

f_n

можно определить произвольно, поскольку значение в одной точке не влияет на интеграл.

На отрезке

[x_i;x_{i+1}]

введём обозначения

m_{i,n}=\inf_{[x_i;x_{i+1}]}f, \qquad M_{i,n}=\sup_{[x_i;x_{i+1}]}f, \qquad \widehat M_{i,n}=\sup_{[x_i;x_{i+1})}f

Тогда

m_{i,n}\leqslant\widehat M_{i,n}\leqslant M_{i,n}

и, поскольку

f_n

постоянна на каждом полуинтервале,

L(f,P_n) \leqslant\int_a^b f_n(x)\,dx =h_n\sum_{i=0}^{n-1}\widehat M_{i,n} \leqslant U(f,P_n)

Покажем, что разность крайних сумм стремится к нулю. Пусть

|f(x)|\leqslant M

. Для произвольного

\varepsilon>0

выберем фиксированное разбиение

P

r

внутренними точками так, чтобы

U(f,P)-L(f,P)<\dfrac\varepsilon2

Обозначим через

Q_n=P\cup P_n

общее уточнение. Только те отрезки

P_n

, которые содержат внутренние точки разбиения

P

, могут быть дополнительно разделены. Таких отрезков не более

r

, а изменение верхней или нижней суммы на каждом из них не превосходит

2Mh_n

. При этом

\begin{aligned} U(f,P_n)-L(f,P_n) &=\bigl(U(f,P_n)-U(f,Q_n)\bigr)+\bigl(U(f,Q_n)-L(f,Q_n)\bigr)+\bigl(L(f,Q_n)-L(f,P_n)\bigr)\end{aligned}

Поскольку

Q_n

является уточнением

P

, имеем

U(f,Q_n)-L(f,Q_n) \leqslant U(f,P)-L(f,P)

Первая и третья разности вместе не превосходят

4Mrh_n

. Поэтому

\begin{aligned} U(f,P_n)-L(f,P_n) &\leqslant U(f,P)-L(f,P)+4Mrh_n \longrightarrow U(f,P)-L(f,P)\end{aligned}

При всех достаточно больших

n

правая часть меньше

\varepsilon

. Следовательно, разность

U(f,P_n)-L(f,P_n)

стремится к нулю. При этом интеграл

I=\int_a^b f(x)\,dx

лежит между этими суммами, поэтому

0\leqslant I-L(f,P_n)\leqslant U(f,P_n)-L(f,P_n), \qquad 0\leqslant U(f,P_n)-I\leqslant U(f,P_n)-L(f,P_n)

Обе правые части стремятся к нулю, и получаем

L(f,P_n)\longrightarrow\int_a^b f(x)\,dx, \qquad U(f,P_n)\longrightarrow\int_a^b f(x)\,dx

Обозначим

I=\int_a^b f(x)\,dx

I_n=\int_a^b f_n(x)\,dx

. Оба числа лежат между

L(f,P_n)

U(f,P_n)

, поэтому

|I_n-I|\leqslant U(f,P_n)-L(f,P_n)\longrightarrow0

Это и даёт требуемый предел.

Что и требовалось доказать