Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2187

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2187

\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx

Ответ:

1

Решение

По общему условию блока используем определение интеграла. Разобьём отрезок

\left[0,\frac{\pi}{2}\right]

на

n

равных частей и выберем правые концы. Обозначим

h=\dfrac{\pi}{2n}

Тогда интегральная сумма равна

S_n=h\sum_{k=1}^{n}\sin(kh)

Чтобы вычислить сумму, используем тождество

2\sin\left(\dfrac h2\right)\sin(kh) =\cos\left(\left(k-\dfrac12\right)h\right) -\cos\left(\left(k+\dfrac12\right)h\right)

После суммирования правая часть сокращается:

\begin{aligned} 2\sin\left(\dfrac h2\right)\sum_{k=1}^{n}\sin(kh) &=\cos\left(\dfrac h2\right) -\cos\left(\left(n+\dfrac12\right)h\right)=\\ &=\cos\left(\dfrac h2\right)+\sin\left(\dfrac h2\right)\end{aligned}

Здесь использовано равенство

nh=\frac{\pi}{2}

. Поэтому

\begin{aligned} S_n &=\dfrac h2\left(\ctg\left(\dfrac h2\right)+1\right)\end{aligned}

При

n\to\infty

имеем

h\to0^+

. Положив

u=\frac h2

, получаем

u\ctg u=\dfrac{u}{\sin u}\cos u\longrightarrow1, \qquad u\longrightarrow0^+

Здесь использованы пределы

\frac{\sin u}{u}\to1

\cos u\to1

. Добавка

\frac h2

стремится к нулю. Следовательно,

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx =\lim_{n\to\infty}S_n =1