Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2190

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:

Задача 2190

\displaystyle\int_a^bx^m\,dx

(0<a<b;\ m\ne-1)

Ответ:

\dfrac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1}, \qquad 0<a<b, \qquad m\ne-1

Решение

По условию

0<a<b

m\ne-1

. Согласно указанию выберем точки разбиения в виде геометрической прогрессии. Положим

q=\left(\dfrac ba\right)^{\frac1n}, \qquad x_i=aq^i, \qquad i=0,1,\ldots,n

Тогда

q>1

x_0=a

x_n=b

\Delta x_i=x_{i+1}-x_i=aq^i(q-1)

Максимальной является длина последнего промежутка, причём

\begin{aligned} \max_i\Delta x_i &=aq^{n-1}(q-1)=\\ &=b\left(1-\dfrac1q\right) \longrightarrow0\end{aligned}

Следовательно, выбранная последовательность разбиений допустима. В качестве точек разметки возьмём левые концы

\xi_i=x_i

. Интегральная сумма равна

\begin{aligned} S_n &=\sum_{i=0}^{n-1}x_i^m\Delta x_i=\\ &=a^{m+1}(q-1) \sum_{i=0}^{n-1}q^{i(m+1)}\end{aligned}

Поскольку

m\ne-1

, знаменатель геометрической прогрессии

q^{m+1}

не равен единице. Поэтому

\begin{aligned} a^{m+1}\left(q^{n(m+1)}-1\right) &=a^{m+1}\left((q^n)^{m+1}-1\right)=\\ &=a^{m+1}\left( \left(\dfrac ba\right)^{m+1}-1 \right)=\\ &=b^{m+1}-a^{m+1}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} S_n &=a^{m+1}(q-1) \dfrac{q^{n(m+1)}-1}{q^{m+1}-1}=\\ &=\left(b^{m+1}-a^{m+1}\right) \dfrac{q-1}{q^{m+1}-1}\end{aligned}

При

n\to\infty

имеем

q\to1

. По определению производной функции

y^{m+1}

в точке

y=1

получаем

\lim_{q\to1}\dfrac{q^{m+1}-1}{q-1}=m+1

Следовательно,

\begin{aligned} \int_a^b x^m\,dx &=\lim_{n\to\infty}S_n=\\ &=\dfrac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1}\end{aligned}