Раздел IV. Определённый интеграл — § 1. Определённый интеграл как предел суммы

Демидович — задача 2199

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2199

Доказать, что если функция f(x)f(x) интегрируема на [a,b][a,b], то существует последовательность непрерывных функций φn(x)\varphi_n(x) (n=1,2,… )(n=1,2,\dots) такая, что∫acf(x) dx=lim⁡n→∞∫acφn(x) dxпри a≤c≤b.\int_a^cf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^c\varphi_n(x)\,dx\quad\text{при }a\le c\le b.
Доказано:Существует последовательность φn∈C[a;b]\varphi_n\in C[a;b], для которой равномерно по c∈[a;b]c\in[a;b]∫acφn(x) dx⟶∫acf(x) dx\int_a^c\varphi_n(x)\,dx
\longrightarrow\int_a^c f(x)\,dx

Доказательство

Поскольку ff интегрируема, для каждого nn существует разбиениеPn:a=x0<x1<…<xmn=bP_n:\quad a=x_0<x_1<\ldots<x_{m_n}=bтакое, чтоU(f,Pn)−L(f,Pn)=∑i=0mn−1ωi,nΔxi<1nU(f,P_n)-L(f,P_n)
=\sum_{i=0}^{m_n-1}\omega_{i,n}\Delta x_i
<\dfrac1nгде ωi,n\omega_{i,n} — колебание функции ff на [xi;xi+1][x_i;x_{i+1}]. Выберем на каждом частичном отрезке точку ξi\xi_i и построим ступенчатую функциюgn(x)=f(ξi),xi⩽x<xi+1g_n(x)=f(\xi_i),
\qquad
x_i\leqslant x<x_{i+1}В оставшейся точке положимgn(b)=f(ξmn−1)g_n(b)=f(\xi_{m_n-1})Это значение не влияет на интегралы, но определяет gng_n на всём отрезке [a;b][a;b].

Если c∈[xj;xj+1]c\in[x_j;x_{j+1}], то на каждом полном или неполном частичном отрезке, кроме конечного числа точек разбиения, модуль f−gnf-g_n не превосходит соответствующего колебания ωi,n\omega_{i,n}. Значения в этих отдельных точках на интеграл не влияют. Поэтому∣∫ac(f(x)−gn(x)) dx∣⩽∑i=0mn−1ωi,nΔxi<1n\left|\int_a^c\bigl(f(x)-g_n(x)\bigr)\,dx\right|
\leqslant\sum_{i=0}^{m_n-1}\omega_{i,n}\Delta x_i
<\dfrac1nПусть ∣f(x)∣⩽M|f(x)|\leqslant M, где M⩾1M\geqslant1. У функции gng_n конечное число скачков. Окружим их попарно непересекающимися интервалами общей длиныℓn<12Mn\ell_n<\dfrac1{2Mn}Каждый интервал выберем настолько коротким, чтобы его левая и правая части лежали в соседних участках постоянства gng_n. Вне этих интервалов положим φn=gn\varphi_n=g_n, а внутри каждого интервала заменим скачок линейным отрезком, соединяющим постоянные значения соседних ветвей. Если сглаживаем скачок на [u;v][u;v], а соседние постоянные значения равны c−c_- и c+c_+, то внутри этого отрезка полагаемφn(x)=v−xv−uc−+x−uv−uc+,u⩽x⩽v\varphi_n(x)=\dfrac{v-x}{v-u}c_-+\dfrac{x-u}{v-u}c_+,
\qquad u\leqslant x\leqslant vПри x=ux=u и x=vx=v эта формула даёт соответственно c−c_- и c+c_+, поэтому стыки непрерывны. Коэффициенты неотрицательны и в сумме равны единице: отсюда ∣φn(x)∣⩽M|\varphi_n(x)|\leqslant M. Полученная функция φn\varphi_n непрерывна на [a;b][a;b]. Кроме того, ∣gn−φn∣⩽2M|g_n-\varphi_n|\leqslant2M, и эта разность отлична от нуля лишь на множестве общей длины ℓn\ell_n. Поэтому при любом c∈[a;b]c\in[a;b]∣∫ac(gn(x)−φn(x)) dx∣⩽2Mℓn<1n\left|\int_a^c\bigl(g_n(x)-\varphi_n(x)\bigr)\,dx\right|
\leqslant2M\ell_n
<\dfrac1nСледовательно, равномерно по c∈[a;b]c\in[a;b]∣∫acf(x) dx−∫acφn(x) dx∣<2n⟶0\begin{aligned}
\left|
\int_a^c f(x)\,dx-
\int_a^c\varphi_n(x)\,dx
\right|
&<\dfrac2n\longrightarrow0
\end{aligned}Тем самым требуемая последовательность непрерывных функций построена.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2199 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика