Задачи с прикладным содержанием

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель --- целое число от $1$ до $5$. Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций --- вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $$ R=\dfrac{2In+Op+3Tr+Q}{A}. $$ Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $1$.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель --- целое число от $-2$ до $2$. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится втрое, а объективность --- вдвое дороже, чем оперативность. Таким образом, формула приняла вид $$ R=\dfrac{3In+Op+2Tr}{A}. $$ Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $30$.

Груз массой $0{,}08$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_0\sin\dfrac{2\pi t}{T}$, где $t$ --- время с момента начала колебаний, $T=12$ с --- период колебаний, $v_0=0{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ --- масса груза в килограммах, $v$ --- скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $1$ секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Катер должен пересечь реку шириной $L=100$ м и со скоростью течения $u=0{,}5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t=\dfrac{L}{u}\operatorname{ctg}\alpha$, где $\alpha$ --- острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $200$ с?

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=400$ нм на дифракционную решетку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d\sin\varphi=k\lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решетке с периодом, не превосходящим $1600$ нм?

Двигаясь со скоростью $v=3$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=50$ кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N=Fv\cos\alpha$. Найдите, при каком угле $\alpha$ (в градусах) эта мощность будет равна $75$ кВт (кВт --- это $\dfrac{\text{кН}\cdot\text{м}}{\text{с}}$).

Трактор тащит сани с силой $F=80$ кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной $S=50$ м вычисляется по формуле $A=FS\cos\alpha$. При каком максимальном угле $\alpha$ (в градусах) совершённая работа будет не менее $2000$ кДж?

Плоский замкнутый контур площадью $S=0{,}5$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $\varepsilon_i=aS\cos\alpha$, где $\alpha$ --- острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=4\cdot10^{-4}$ Тл/с --- постоянная, $S$ --- площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м$^2$). При каком минимальном угле $\alpha$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $10^{-4}$ В?

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L=\dfrac{v_0^2}{g}\sin2\alpha$ (м), где $v_0=20$ м/с --- начальная скорость мячика, а $g$ --- ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной $20$ м?

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н$\cdot$м) определяется формулой $M=NIBl^2\sin\alpha$, где $I=2$ А --- сила тока в рамке, $B=3\cdot10^{-3}$ Тл --- значение индукции магнитного поля, $l=0{,}5$ м --- размер рамки, $N=1000$ --- число витков провода в рамке, $\alpha$ --- острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент $M$ был не меньше $0{,}75$ Н$\cdot$м?

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{\text{п}}=20^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m=0{,}3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_{\text{в}}=60^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x=\alpha\dfrac{cm}{\gamma}\log_2\dfrac{T_{\text{в}}-T_{\text{п}}}{T-T_{\text{п}}}$, где $c=4200\dfrac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}$ --- теплоёмкость воды, $\gamma=21\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot{}^\circ\text{C}}$ --- коэффициент теплообмена, а $\alpha=0{,}7$ --- постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $84$ м.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=2\cdot10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=5\cdot10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha RC\log_2\dfrac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha=0{,}7$ --- постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $21$ с. Ответ дайте в киловольтах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1^{1{,}4}=p_2V_2^{1{,}4}$, где $p_1$ и $p_2$ --- давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$ --- объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен $1{,}6$ л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $128$ атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a=const$, где $p$ (Па) --- давление в газе, $V$ --- объем газа в кубических метрах, $a$ --- положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение вдвое раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $4$ раза?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ --- начальная масса изотопа, $t$ --- время, прошедшее от начального момента, $T$ --- период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $40$ мг. Период его полураспада составляет $10$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5$ мг.

Автомобиль, масса которого равна $m=2160$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $t$ секунд остается неизменным, и проходит за это время путь $S=500$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F=\dfrac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила $F$, приложенная к автомобилю, не меньше $2400$ Н. Ответ дайте в секундах.

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P=\dfrac{4mg}{\pi D^2}$, где $m=1200$ кг --- общая масса навеса и колонны, $D$ --- диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$, а $\pi=3$, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $400000$ Па. Ответ дайте в метрах.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землей, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км --- радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $4{,}8$ км. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту $20$ см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее $6{,}4$ километров?

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км --- радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $4{,}8$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $6{,}4$ километров?

Наблюдатель находится на высоте $h$, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l=\sqrt{\dfrac{Rh}{500}}$, где $R=6400$ км --- радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии $4$ километров? Ответ дайте в метрах.

К источнику с ЭДС $\varepsilon=55$ В и внутренним сопротивлением $r=0{,}5$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой $U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее $50$ В? Ответ дайте в омах.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m=1260$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l=18$ метров и шириной $s$ метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p=\dfrac{mg}{2ls}$, где $m$ --- масса экскаватора (в тоннах), $l$ --- длина балок в метрах, $s$ --- ширина балок в метрах, $g$ --- ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление $p$ не должно превышать $140$ кПа. Ответ дайте в метрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой $m_{\text{в}}$ (в килограммах) от температуры $t_1$ до температуры $t_2$ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы $m_{\text{др}}$ кг. Он определяется формулой $\eta=\dfrac{c_{\text{в}}m_{\text{в}}(t_2-t_1)}{q_{\text{др}}m_{\text{др}}}\cdot100\%$, где $c_{\text{в}}=4{,}2\cdot10^3$ $\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{градус}}$ --- теплоёмкость воды, $q_{\text{др}}=8{,}3\cdot10^6$ Дж/кг --- удельная теплота сгорания дров. Определите массу дров, которые понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть $m_{\text{в}}=83$ кг воды от $10$ до $100^\circ\text{C}$, если известно, что КПД кормозапарника равен $21\%$. Ответ дайте в килограммах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}\cdot100\%$, где $T_1$ --- температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ --- температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет $15\%$, если температура холодильника $T_2=340$ К? Ответ дайте в кельвинах.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega)=\dfrac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}$, где $\omega$ --- частота вынуждающей силы (в с$^{-1}$), $A_0$ --- постоянный параметр, $\omega_p=360$ с$^{-1}$ --- резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $12{,}5\%$. Ответ дайте в с$^{-1}$.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой $y=ax^2+bx$, где $a=-\dfrac{1}{100}$ м$^{-1}$, $b=1$ --- постоянные параметры, $x$ (м) --- смещение камня по горизонтали, $y$ (м) --- высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $8$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=H_0-\sqrt{\vphantom{H^2}2gH_0}kt+\dfrac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ --- время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=20$ м --- начальная высота столба воды, $k=\dfrac{1}{50}$ --- отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ --- ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P=m\left(\dfrac{v^2}{L}-g\right)$, где $m$ --- масса воды в килограммах, $v$ --- скорость движения ведерка в м/с, $L$ --- длина веревки в метрах, $g$ --- ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна $40$ см? Ответ дайте в м/с.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ --- расстояние в метрах, $t$ --- время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}6$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}2$ с? Ответ дайте в метрах.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене $p=500$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=300$ руб., постоянные расходы предприятия $f=700000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $300000$ руб.

При температуре $0^\circ\text{C}$ рельс имеет длину $l_0=10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ)=l_0(1+\alpha\cdot t^\circ)$, где $\alpha=1{,}2\cdot10^{-5}({}^\circ\text{C})^{-1}$ --- коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ --- температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 18 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой p = mg2ls, где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с^2). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,9 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч^2. Скорость вычисляется по формуле v = √(2la), где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,2 километра, приобрести скорость 80 км/ч. Ответ выразите в км/ч^2.

Водолазный колокол, содержащий ν = 10 моль воздуха объёмом V_1 = 48 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V_2 (в л). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A=αν Tlog_2V_1V_2, где α=5,8 Джмоль·K — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём V_2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 34 800 Дж. Ответ дайте в литрах.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 2 · 10^-6 Φ. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 5 · 10^6 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U_0 = 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = α RC log_2 U_0U (с), где α = 0,7 — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и v (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле f=f_0·c+uc-v, где f_0=100 Гц — частота исходного сигнала, c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 29 м/с и v = 11 м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 110 Гц? Ответ дайте в м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 297 МГц. Скорость погружения батискафа v (в м/с) вычисляется по формуле v=c·f-f_0f+f_0, где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f_0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 15 м/с. Ответ дайте в МГц.

Водолазный колокол, содержащий ν = 2 моль воздуха при давлении p_1 = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2 (в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A=αν T log_2p_2p_1, где α = 5,75 Джмоль·K — постоянная, T = 300К — температура воздуха. Найдите давление p_2 воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 6 900 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 598 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле v=c·f-f_0f+f_0, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f_0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником. Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

К источнику с ЭДС ε=55 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой U=ε RR+r. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R_1=90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R_2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_1 Ом и R_2 Ом их общее сопротивление даётся формулой R_общ=R_1R_2R_1+R_2, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью v_0=54 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=8 км/ч^2. Расстояние от мотоцикла до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v_0t+at^22. Определите наибольшее время, в течение которого мотоцикл будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 58 км от города. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0=27 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=3 м/с^2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S=v_0t-at^22 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 120 метров. Ответ дайте в секундах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч^2. Скорость v вычисляется по формуле v = √(2la), где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 километра, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч^2.