Квадратичная, кубическая зависимость

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega)=\dfrac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}$, где $\omega$ --- частота вынуждающей силы (в с$^{-1}$), $A_0$ --- постоянный параметр, $\omega_p=360$ с$^{-1}$ --- резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $12{,}5\%$. Ответ дайте в с$^{-1}$.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой $y=ax^2+bx$, где $a=-\dfrac{1}{100}$ м$^{-1}$, $b=1$ --- постоянные параметры, $x$ (м) --- смещение камня по горизонтали, $y$ (м) --- высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $8$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=H_0-\sqrt{\vphantom{H^2}2gH_0}kt+\dfrac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ --- время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=20$ м --- начальная высота столба воды, $k=\dfrac{1}{50}$ --- отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ --- ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P=m\left(\dfrac{v^2}{L}-g\right)$, где $m$ --- масса воды в килограммах, $v$ --- скорость движения ведерка в м/с, $L$ --- длина веревки в метрах, $g$ --- ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна $40$ см? Ответ дайте в м/с.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ --- расстояние в метрах, $t$ --- время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}6$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}2$ с? Ответ дайте в метрах.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене $p=500$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=300$ руб., постоянные расходы предприятия $f=700000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $300000$ руб.

При температуре $0^\circ\text{C}$ рельс имеет длину $l_0=10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ)=l_0(1+\alpha\cdot t^\circ)$, где $\alpha=1{,}2\cdot10^{-5}({}^\circ\text{C})^{-1}$ --- коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ --- температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,9 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью v_0=54 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=8 км/ч^2. Расстояние от мотоцикла до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v_0t+at^22. Определите наибольшее время, в течение которого мотоцикл будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 58 км от города. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0=27 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=3 м/с^2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S=v_0t-at^22 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 120 метров. Ответ дайте в секундах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: T(t)=T_0+bt+at^2, где t — время (в мин.), T_0 = 700 К, a = -15 К/мин^2, b = 210 К/мин. При температуре нагревательного элемента свыше 1300 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

После дождя уровень воды в колодце повышается. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодце и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t^2, где h — расстояние (в метрах), t — время падения (в секундах). До дождя время падения камешков составляло 0,6 секунды. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 секунды? Ответ дайте в метрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at^2 + bt + H_0, где H_0 = 2 м — начальный уровень воды, a = 150 м/мин^2 и b = -25 м/мин — постоянные, t — время (в минутах), прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Полная энергия падающего тела вычисляется по формуле E_пол=m v^22+m g h. С какой скоростью двигалось тело массой 3 кг в момент, когда оно находилось на высоте 1,5 м, если его полная энергия в этот момент составляла 68,1 Дж? Ускорение свободного падения g= 9,8 м/c^2.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры T (в кельвинах) от времени работы: T=T_0+bt+at^2, где t — время в минутах, T_0=1600 К, a=-5 К/мин^2, b=105 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0=90 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=16 км/ч^2. Расстояние s (в километрах) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле s=v_0t+at^22, где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся со скоростью v_0=24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=3 м/с^2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь s (в метрах), где s=v_0t-at^22. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 м. Ответ дайте в секундах.

Автомобиль, движущийся со скоростью v_0 = 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с^2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v_0 t - at^22 (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=11 кг и радиусом R=4 см и двух боковых с массами M=6 кг и с радиусами R+h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см^2, даётся формулой I=(m+2M)R^22+M(2Rh+h^2). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 472 кг·см^2? Ответ дайте в сантиметрах.

Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v=v_0cos2π t/T, где t — время с момента начала колебаний, T=2 с — период колебаний, v_0=1,5 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле E=mv^22, где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в Джоулях.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0=57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=8 км/ч^2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v_0t+at^2/2, где t — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не дальше, чем в 45 км от города. Ответ выразите в минутах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле F_A = ρ g l^3, где l — длина ребра куба в метрах, ρ = 1000 кг/м^3 — плотность воды, а g = 9,8 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину ребра куба (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 78 400 Н.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле F_A = αρ g r^3, где α = 4,2 — постоянная, r — радиус сферы в метрах, ρ = 1000 кг/м^3 — плотность воды, а g = 10 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 336000 Н.

Зависимость объёма спроса q(единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p(тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q=75-5p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p)=q· p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 180 тыс.руб. Ответ дайте в тыс.руб. за ед.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t)=at^2+bt+H_0, где H — высота столба воды в метрах, H_0= 8 м — начальный уровень воды, a=172 м/мин^2 и b=-23 м/мин – постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускорено наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону φ =ω t + β t^2/2 где t — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ω = 15 град. /мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 6 градусов /мин^2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки φ достиг 2250^∘. Ответ дайте в минутах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: T(t)=T_0+bt+at^2, где t — время (в мин.), T_0 = 1600 К, a=-5 К/мин^2, b=105 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)= 1,6 + 13t-5 t^2, где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?