Задачи с прикладным содержанием

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 187 МГц. Скорость погружения батискафа v (в м/с) вычисляется по формуле v=c·f-f_0f+f_0, где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f_0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с. Ответ дайте в МГц.

После дождя уровень воды в колодце повышается. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодце и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t^2, где h — расстояние (в метрах), t — время падения (в секундах). До дождя время падения камешков составляло 0,6 секунды. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 секунды? Ответ дайте в метрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at^2 + bt + H_0, где H_0 = 2 м — начальный уровень воды, a = 150 м/мин^2 и b = -25 м/мин — постоянные, t — время (в минутах), прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

При температуре 0^∘ C рельс имеет длину l_0 = 13 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t^∘) = l_0 (1 + α· t^∘), где α = 1,2 · 10^-5 (^∘ С)^-1 — коэффициент теплового расширения, t^∘ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,8 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Полная энергия падающего тела вычисляется по формуле E_пол=m v^22+m g h. С какой скоростью двигалось тело массой 3 кг в момент, когда оно находилось на высоте 1,5 м, если его полная энергия в этот момент составляла 68,1 Дж? Ускорение свободного падения g= 9,8 м/c^2.

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q =8 · 10^-6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 3 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика. Значение индукции поля составляет B = 5 · 10^-3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F_л = qvBsinα (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла α∈ [0^∘; 180^∘] шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F_л была не меньше чем 6 · 10^-8 Н? Ответ дайте в градусах.

Мячик бросают под острым углом α к поверхности земли. Мячик поднимается до высоты H = v_0^24g(1 - cos2α) метров и начинает падать. При каком наименьшем значении угла α мячик поднимется до высоты 3,2 м, если его начальная скорость v_0 равна 16 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g равно 10 м/с^2. Ответ дайте в градусах.

Мячик бросают под острым углом α к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик до падения, равно v_0^2gsin 2α м, где v_0 =16 м/с — начальная скорость мячика, а g =10 м/с^2 — ускорение свободного падения. Под каким наименьшим углом нужно бросить мячик, чтобы он пролетел 12,8 м? Ответ дайте в градусах.

Водолазный колокол, содержащий ν=13 молей воздуха при давлении p_1=1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=αν T log _2p_2p_1, где α=15 Дж моль · K — постоянная, T=300 K — температура воздуха. Найдите, какое давление p_2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117000 Дж.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением p_1 V_1^1,4=p_2 V_2^1,4, где p_1 и p_2 — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V_1 и V_2 — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 192 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий ν=2 моль воздуха объёмом V_1=120 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V_2 (в литрах). Работа A (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A=αν Tlog_2V_1V_2, где α=8.7 Дж/(моль·К) — постоянная, T=300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём V_2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 10440 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий ν=3 моль воздуха при давлении p_1=1.4 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p_2 (в атмосферах). Работа A (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле A=αν Tlog_2p_2p_1, где α=10.9 Дж/(моль·К) — постоянная, T=300 К — температура воздуха. Найдите давление p_2 воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в миллиграммах) уменьшается по закону m=m_0· 2^-τ/T, где m_0 — начальная масса изотопа (в миллиграммах), τ — время, прошедшее от начального момента (в минутах), T — период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа составляет 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

Два тела, массой m=6 кг каждое, движутся одинаковой скоростью v=9 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия Q (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q=mv^2sin^2α. Найдите, под каким углом 2α должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч^2). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле v=√(2la), где l — пройденный автомобилем путь (в километрах). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0.5 км, приобрести скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч^2.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры T (в кельвинах) от времени работы: T=T_0+bt+at^2, где t — время в минутах, T_0=1600 К, a=-5 К/мин^2, b=105 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0=90 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=16 км/ч^2. Расстояние s (в километрах) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле s=v_0t+at^22, где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

Автомобиль, движущийся со скоростью v_0=24 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=3 м/с^2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь s (в метрах), где s=v_0t-at^22. Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 м. Ответ дайте в секундах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f=30 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 44 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение 1d_1+1d_2=1f. На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа v (в м/с) вычисляется по формуле v=c·f-f_0f+f_0, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f_0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0=295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в герцах) больше первого и зависит от скорости тепловоза v (в м/с) по закону f=f_01-v/c. Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ дайте в м/с.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет R_1=36 Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого R_2 (в омах). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями R_1 и R_2 их общее сопротивление R вычисляется по формуле R=R_1R_2R_1+R_2. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

Сила тока I (в амперах) в электросети вычисляется по закону Ома: I=UR, где U — напряжение электросети (в вольтах), R — сопротивление подключаемого электроприбора (в омах). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением 220 В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Автомобиль, движущийся со скоростью v_0 = 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с^2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v_0 t - at^22 (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью v = 4 м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью u = mm+Mvcosα (м/с), где m = 80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а M = 320 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле R = r_пок - r_пок - r_экс(K+1)^m, где m = 0,02Kr_пок+0,1, r_пок — средняя оценка магазина покупателями, r_экс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин равно 7, их средняя оценка равна 0,32, а оценка экспертов равна 0,26.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = 2,56 · 10^6 Па · м^4, где p — давление в газе в паскалях, V — объём газа в кубических метрах, k = 43. Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном 6,25 · 10^6 Па.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет- изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности Tr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от -2 до 2. Составители рейтинга считают, что объективность ценится впятеро, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид R = 2In +Op + 5Tr +QA. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A , при котором это условие будет выполняться.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I=ℰR+r, где ℰ — ЭДС источника, r=3 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи. При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I_к.з.=ℰ/r? Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R_1=96 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R_2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_1 и R_2 их общее сопротивление задаётся формулой R_общ=R_1R_2R_1+R_2, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 24 Ом. Ответ дайте в омах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m = m_0 · 2^-t/T, где m_0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 128 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 1 мг.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0 =140 Гц и определяется следующим выражением: f = f_0c+uc-v (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 9 м/с и v =13 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 145 Гц?

Груз массой 0,15 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v = v_ocos2π tT, где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, v_0 = 0,4 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле E= mv^22, где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 6 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 10 sinπ t5 (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени первых трёх секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U_0sin (ω t + φ), где t — время в секундах, U_0 = 2 В — амплитуда, ω =60^∘/с — частота, φ=-15^∘ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах определяется по формуле t = 2v_0sinαg. При каком значении угла α (в градусах) время полёта составит 1,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v_0 =16 м/с Считайте, что ускорение свободного падения g равно 10 м/с^2.

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=11 кг и радиусом R=4 см и двух боковых с массами M=6 кг и с радиусами R+h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см^2, даётся формулой I=(m+2M)R^22+M(2Rh+h^2). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 472 кг·см^2? Ответ дайте в сантиметрах.

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. рублей за единицу) задаётся формулой q=70-2p. Выручка предприятия r (в тыс. рублей за месяц) вычисляется по формуле r(p)=q· p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. рублей. Ответ дайте в тысячах рублей за единицу.

Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону v=v_0cos2π t/T, где t — время с момента начала колебаний, T=2 с — период колебаний, v_0=1,5 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле E=mv^22, где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в Джоулях.

Два тела, массой m=10 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v=6 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q=mv^2sin^2α, где m — масса в килограммах, v — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 90 джоулей.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0=57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=8 км/ч^2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v_0t+at^2/2, где t — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не дальше, чем в 45 км от города. Ответ выразите в минутах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m=m_0· 2^-t/T, где m_0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 164 мг. Период его полураспада составляет 7 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 41 мг.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле F_A = ρ g l^3, где l — длина ребра куба в метрах, ρ = 1000 кг/м^3 — плотность воды, а g = 9,8 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину ребра куба (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 78 400 Н.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле F_A = αρ g r^3, где α = 4,2 — постоянная, r — радиус сферы в метрах, ρ = 1000 кг/м^3 — плотность воды, а g = 10 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 336000 Н.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями u и v (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала f (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле f=f_0·c+u/c-v, где f_0=150 Гц — частота исходного сигнала, c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 13 м/с и v = 6 м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 155 Гц? Ответ дайте в м/с.