Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1977

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(x^2+1)\,dx}{(x^2-1)\sqrt{x^4+1}}

Ответ:

\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{\sqrt{x^4+1}-\sqrt2\,x} {\sqrt{x^4+1}+\sqrt2\,x}+C, \qquad x\ne\pm1

На каждом из промежутков

(-\infty;-1)

(-1;1)

(1;+\infty)

постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подкоренное выражение и множитель

x^2+1

положительны при всех действительных

x

, но

x^2-1\ne0

. Поэтому

x\ne-1, \qquad x\ne1

Снова положим

q=x^4+1, \qquad u=\dfrac{x}{\sqrt q}

Тогда

du=-\dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{q^{\frac{3}{2}}}\,dx

1-2u^2=\dfrac{(x^2-1)^2}{q}>0

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{(x^2+1)\,dx}{(x^2-1)\sqrt{x^4+1}} &=-\int\dfrac{du}{1-2u^2}=\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{1-\sqrt2\,u}{1+\sqrt2\,u}+C\end{aligned}

Так как

|\sqrt2\,u|<1

, оба выражения в логарифме положительны. Возвращаясь к

x

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{(x^2+1)\,dx}{(x^2-1)\sqrt{x^4+1}} &=\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\dfrac{\sqrt{x^4+1}-\sqrt2\,x} {\sqrt{x^4+1}+\sqrt2\,x}+C\end{aligned}