Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1990

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1990

В каких случаях интеграл ∫1+xm dx\displaystyle\int\sqrt{1+x^m}\,dx, где mm --- рациональное число, представляет собой элементарную функцию?
Ответ:При m∈Qm\in\mathbb Q интеграл является элементарным тогда и только тогда, когдаm=0,m=0,либоm=1k,k∈Z∖{0},m=\dfrac1k,
\qquad
k\in\mathbb Z\setminus\{0\},либоm=22k−1,k∈Zm=\dfrac2{2k-1},
\qquad
k\in\mathbb ZФормулировка относится к промежуткам, где xmx^m определено и 1+xm⩾01+x^m\geqslant0.

Решение

Сначала рассмотрим m≠0m\ne0. По критерию Чебышёва биномиальный
интеграл∫xμ(a+bxν)p dx\int x^\mu(a+bx^\nu)^p\,dxпри условияхa≠0,b≠0,μ,ν,p∈Q,ν≠0a\ne0,
\qquad
b\ne0,
\qquad
\mu,\nu,p\in\mathbb Q,
\qquad
\nu\ne0является элементарным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чиселp,μ+1ν,p+μ+1νp,
\qquad
\dfrac{\mu+1}{\nu},
\qquad
p+\dfrac{\mu+1}{\nu}является целым. В данном случаеμ=0,ν=m,p=12\mu=0,
\qquad
\nu=m,
\qquad
p=\dfrac12Число p=12p=\dfrac12 не является целым. Поэтому остаются два возможных условия:1m∈Z\dfrac1m\in\mathbb Zили12+1m∈Z\dfrac12+\dfrac1m\in\mathbb ZПервое условие равносильноm=1k,k∈Z∖{0}m=\dfrac1k,
\qquad
k\in\mathbb Z\setminus\{0\}Во втором условии положим12+1m=k,k∈Z\dfrac12+\dfrac1m=k,
\qquad
k\in\mathbb ZТогда1m=2k−12,m=22k−1\dfrac1m=\dfrac{2k-1}{2},
\qquad
m=\dfrac2{2k-1}Случай m=0m=0 не входит в формулировку критерия, поэтому проверим его отдельно:∫1+x0 dx=∫2 dx=2 x+C\int\sqrt{1+x^0}\,dx
=\int\sqrt2\,dx
=\sqrt2\,x+CСледовательно, он также даёт элементарную первообразную. Для каждого рационального mm утверждение рассматривается на любом промежутке, где вещественная функция xmx^m определена и 1+xm⩾01+x^m\geqslant0.
Демидович № 1990 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика