Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1976

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1976

∫(x2−1) dx(x2+1)x4+1\displaystyle\int\frac{(x^2-1)\,dx}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}.
Ответ:−12arctg⁡2 xx4+1+C,x∈R-\dfrac{1}{\sqrt2}
\arctg\dfrac{\sqrt2\,x}{\sqrt{x^4+1}}+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Поскольку x4+1>0x^4+1>0 и x2+1>0x^2+1>0 при всех действительных xx, область определения есть R\mathbb R. Положимq=x4+1,u=xqq=x^4+1,
\qquad
u=\dfrac{x}{\sqrt q}Тогдаdu=1−x4q32 dx=−(x2−1)(x2+1)q32 dx\begin{aligned}
du
&=\dfrac{1-x^4}{q^{\frac{3}{2}}}\,dx
=-\dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{q^{\frac{3}{2}}}\,dx
\end{aligned}Кроме того,1+2u2=(x2+1)2q1+2u^2=\dfrac{(x^2+1)^2}{q}Следовательно,∫(x2−1) dx(x2+1)x4+1=−∫du1+2u2==−12arctg⁡(2 u)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{(x^2-1)\,dx}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}
&=-\int\dfrac{du}{1+2u^2}=\\
&=-\dfrac{1}{\sqrt2}\arctg(\sqrt2\,u)+C
\end{aligned}Возвращаясь к переменной xx, получаем∫(x2−1) dx(x2+1)x4+1=−12arctg⁡2 xx4+1+C\int\dfrac{(x^2-1)\,dx}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}
=-\dfrac{1}{\sqrt2}
\arctg\dfrac{\sqrt2\,x}{\sqrt{x^4+1}}+C
Демидович № 1976 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика