Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1985

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^3}}

Ответ:

-\dfrac12\ln(y-x) +\dfrac1{\sqrt3}\arctg \left(\dfrac{2x+y}{\sqrt3\,y}\right)+C, \qquad y=\sqrt[3]{1+x^3},\qquad x\ne-1

Решение

Положим

y=\sqrt[3]{1+x^3}

Подынтегральная функция определена при

x\ne-1

, то есть при

y\ne0

. Используем рационализирующую замену

u=\dfrac{x}{y}

Так как

y^3=1+x^3

, то

y'=\dfrac{x^2}{y^2}

u'=\dfrac{y-xy'}{y^2} =\dfrac{y^3-x^3}{y^4}=\dfrac1{y^4}

Следовательно,

du=\dfrac{dx}{y^4}

. Кроме того,

1-u^3=1-\dfrac{x^3}{y^3} =\dfrac{y^3-x^3}{y^3}=\dfrac1{y^3}

Поэтому исходный интеграл становится рациональным:

\int\dfrac{dx}{y} =\int y^3\,du =\int\dfrac{du}{1-u^3}

Разложим дробь на простейшие:

\dfrac1{1-u^3} =\dfrac{A}{1-u}+\dfrac{Bu+C}{u^2+u+1}

После умножения на

1-u^3

имеем

1=A(u^2+u+1)+(Bu+C)(1-u)

Сравнение коэффициентов даёт

A-B=0, \qquad A+B-C=0, \qquad A+C=1

Отсюда

A=B=\dfrac13, \qquad C=\dfrac23,

и потому

\dfrac1{1-u^3} =\dfrac1{3(1-u)}+\dfrac{u+2}{3(u^2+u+1)}

Так как

u+2=\dfrac12(2u+1)+\dfrac32, \qquad u^2+u+1=\left(u+\dfrac12\right)^2+\dfrac34

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{du}{1-u^3} &=-\dfrac13\ln|1-u|+\dfrac16\ln(u^2+u+1) +\dfrac1{\sqrt3} \arctg \left(\dfrac{2u+1}{\sqrt3}\right)+C\end{aligned}

Для обратного перехода заметим, что

y^3-x^3=(y-x)(y^2+xy+x^2)=1

При этом

y^2+xy+x^2 =\left(y+\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3x^2}{4}>0

Равенство нулю невозможно, поскольку тогда

x=y=0

, что
противоречит равенству

y^3-x^3=1

. Поэтому действительно

y-x>0

. Далее,

\dfrac{u^2+u+1}{(1-u)^2} =\dfrac{x^2+xy+y^2}{(y-x)^2}

Из равенства

(y-x)(x^2+xy+y^2)=1

следует

x^2+xy+y^2=\dfrac1{y-x}

Значит,

\dfrac{u^2+u+1}{(1-u)^2} =\dfrac1{(y-x)^3},

и логарифмические слагаемые объединяются так:

\begin{aligned} -\dfrac13\ln|1-u|+\dfrac16\ln(u^2+u+1) &=\dfrac16\ln\dfrac{u^2+u+1}{(1-u)^2}=\\ &=-\dfrac12\ln(y-x)\end{aligned}

Также

\dfrac{2u+1}{\sqrt3} =\dfrac{2x+y}{\sqrt3\,y}

На промежутках

(-\infty,-1)

(-1,+\infty)

постоянная

C

может принимать независимые значения.