Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1982

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sqrt x}{(1+\sqrt[4]x)^2}\,dx

Ответ:

t^4-\dfrac83t^3+6t^2-16t+20\ln(1+t)+\dfrac4{1+t}+C,\qquad t=\sqrt[4]x

Решение

При

x>0

положим

t=\sqrt[4]x

. Имеем

\sqrt x=t^2

dx=4t^3\,dt

. Поэтому

I=4\int\dfrac{t^5}{(1+t)^2}\,dt

После деления многочленов

\dfrac{4t^5}{(1+t)^2}=4t^3-8t^2+12t-16+\dfrac{20}{1+t}-\dfrac4{(1+t)^2}

Интегрируем каждое слагаемое:

I=t^4-\dfrac83t^3+6t^2-16t+20\ln(1+t)+\dfrac4{1+t}+C

В этой формуле

t=\sqrt[4]x

. Она непрерывно продолжается до

x=0

; исходная функция там также непрерывна.