Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1986

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}

Ответ:

\dfrac14\ln\left( \dfrac{1+u}{1-u} \right) +\dfrac12\arctg u+C, \qquad u=\dfrac{x}{\sqrt[4]{1+x^4}}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Для биномиального дифференциала

x^\mu(a+bx^\nu)^p\,dx

критерий Чебышёва утверждает: первообразная выражается через элементарные функции, если хотя бы одно из трёх чисел

p, \qquad \dfrac{\mu+1}{\nu}, \qquad p+\dfrac{\mu+1}{\nu}

является целым.

Это биномиальный дифференциал с параметрами

\mu=0, \qquad \nu=4, \qquad p=-\dfrac14

При этом

p+\dfrac{\mu+1}{\nu} =-\dfrac14+\dfrac14=0\in\mathbb Z

Следовательно, по критерию Чебышёва интеграл является элементарным.
Для его вычисления положим

y=\sqrt[4]{1+x^4}, \qquad u=\dfrac{x}{y}

Здесь

y>0

при всех

x\in\mathbb R

. Поскольку

y^4=1+x^4

, имеем

y'=\dfrac{x^3}{y^3}

Поэтому

\begin{aligned} u' &=\dfrac{y-xy'}{y^2} =\dfrac{y-\dfrac{x^4}{y^3}}{y^2}=\\ &=\dfrac{y^4-x^4}{y^5} =\dfrac1{y^5}\end{aligned}

Следовательно,

du=\dfrac{dx}{y^5}

Кроме того,

1-u^4 =1-\dfrac{x^4}{y^4} =\dfrac{y^4-x^4}{y^4} =\dfrac1{y^4}

Значит, исходный биномиальный интеграл сводится к рациональному:

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}} &=\int\dfrac{dx}{y} =\int y^4\,du=\\ &=\int\dfrac{du}{1-u^4}\end{aligned}

Разложим дробь на простейшие:

\dfrac1{1-u^4} =\dfrac1{4(1-u)}+\dfrac1{4(1+u)} +\dfrac1{2(1+u^2)}

Это разложение легко проверить приведением правой части к общему знаменателю:

\begin{aligned} \dfrac1{4(1-u)}+\dfrac1{4(1+u)} &=\dfrac1{2(1-u^2)}\\ \dfrac1{2(1-u^2)}+\dfrac1{2(1+u^2)} &=\dfrac1{1-u^4}\end{aligned}

Интегрируя почленно, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{du}{1-u^4} &=-\dfrac14\ln(1-u)+\dfrac14\ln(1+u) +\dfrac12\arctg u+C=\\ &=\dfrac14\ln\dfrac{1+u}{1-u} +\dfrac12\arctg u+C\end{aligned}

Так как

|u|^4=\dfrac{x^4}{1+x^4}<1

то

|u|<1

и аргумент логарифма положителен.