Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1983

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}

Ответ:

\dfrac15 \left(3\sqrt[3]{x^4}-4\sqrt[3]{x^2}+8\right) \sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Кубические корни понимаем как вещественные. Положим

t=\sqrt[3]{x}, \qquad x=t^3, \qquad dx=3t^2\,dt

Так как

\sqrt[3]{x^2}=t^2

, имеем

\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}} =3\int\dfrac{t^5}{\sqrt{1+t^2}}\,dt

Теперь положим

u=1+t^2, \qquad du=2t\,dt, \qquad t^4=(u-1)^2

Тогда

\begin{aligned} 3\int\dfrac{t^5}{\sqrt{1+t^2}}\,dt &=\dfrac32\int\dfrac{(u-1)^2}{\sqrt{u}}\,du=\\ &=\dfrac32\int \left(u^{\frac32}-2u^{\frac12}+u^{-\frac12}\right)du=\\ &=\dfrac35u^{\frac52}-2u^{\frac32}+3u^{\frac12}+C=\\ &=\dfrac15(3t^4-4t^2+8)\sqrt{1+t^2}+C\end{aligned}

Подставим

t=\sqrt[3]{x}

. Отдельно проверим

x=0

: исходная функция там определена, но производная замены

t=\sqrt[3]{x}

не существует. Найденная функция

F(x)

непрерывна при

x=0

, а для

x\ne0

её производная уже вычислена:

F'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}} \longrightarrow0 \qquad (x\to0)

По теореме Лагранжа для

h\ne0

существует точка

\xi_h

между

0

h

, для которой

\dfrac{F(h)-F(0)}{h}=F'(\xi_h) \longrightarrow0

Значит,

F'(0)=0

, что совпадает со значением подынтегральной функции. Поэтому первообразная определена на всей числовой прямой.