Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1979

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1979

∫(x2+1) dxxx4+x2+1\displaystyle\int\frac{(x^2+1)\,dx}{x\sqrt{x^4+x^2+1}}.
Ответ:12ln⁡(x2(2x4+x2+1+2x2+1)2x4+x2+1+x2+2)+C,x≠0\begin{aligned}
&\dfrac{1}{2}\ln\left(
\dfrac{x^2\left(2\sqrt{x^4+x^2+1}+2x^2+1\right)}
{2\sqrt{x^4+x^2+1}+x^2+2}
\right)+C,
\qquad x\ne0
\end{aligned}На промежутках (−∞;0)(-\infty;0) и (0;+∞)(0;+\infty) постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Многочлен x4+x2+1x^4+x^2+1 положителен при всех действительных xx, поэтому область определения задаётся условием x≠0x\ne0.

Положимu=x2,du=2x dxu=x^2,
\qquad
du=2x\,dxТогда u>0u>0 и∫(x2+1) dxxx4+x2+1=12∫u+1uu2+u+1 du==12(∫duu2+u+1+∫duuu2+u+1)\begin{aligned}
\int\dfrac{(x^2+1)\,dx}{x\sqrt{x^4+x^2+1}}
&=\dfrac{1}{2}\int
\dfrac{u+1}{u\sqrt{u^2+u+1}}\,du=\\
&=\dfrac{1}{2}\left(
\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2+u+1}}
+\int\dfrac{du}{u\sqrt{u^2+u+1}}
\right)
\end{aligned}ОбозначимL(z)=ln⁡(2z2+z+1+2z+1)L(z)=\ln\left(2\sqrt{z^2+z+1}+2z+1\right)ПосколькуL′(z)=2z+1z2+z+1+22z2+z+1+2z+1=1z2+z+1\begin{aligned}
L'(z)
&=\dfrac{\dfrac{2z+1}{\sqrt{z^2+z+1}}+2}
{2\sqrt{z^2+z+1}+2z+1}
=\dfrac{1}{\sqrt{z^2+z+1}}
\end{aligned}первый интеграл равен L(u)L(u). Во втором интеграле положим t=1ut=\dfrac{1}{u}. Так как u>0u>0, имеем t>0t>0 иdu=−dtt2,u2+u+1=t2+t+1tdu=-\dfrac{dt}{t^2},
\qquad
\sqrt{u^2+u+1}=\dfrac{\sqrt{t^2+t+1}}{t}Подставляем эти выражения и сокращаем степени tt:∫duuu2+u+1=−∫dtt2+t+1=−L(t)\int\dfrac{du}{u\sqrt{u^2+u+1}}
=-\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}}
=-L(t)Таким образом,∫(x2+1) dxxx4+x2+1=12(L(u)−L(1u))+C\int\dfrac{(x^2+1)\,dx}{x\sqrt{x^4+x^2+1}}
=\dfrac{1}{2}\left(L(u)-L\left(\dfrac{1}{u}\right)\right)+CПри u>0u>0 имеемL(1u)=ln⁡(2u2+u+1+u+2u)L\left(\dfrac{1}{u}\right)
=\ln\left(
\dfrac{2\sqrt{u^2+u+1}+u+2}{u}
\right)ПоэтомуL(u)−L(1u)=ln⁡(u(2u2+u+1+2u+1)2u2+u+1+u+2)\begin{aligned}
L(u)-L\left(\dfrac{1}{u}\right)
&=\ln\left(
\dfrac{u\left(2\sqrt{u^2+u+1}+2u+1\right)}
{2\sqrt{u^2+u+1}+u+2}
\right)
\end{aligned}Возвращаясь к u=x2u=x^2, получаем∫(x2+1) dxxx4+x2+1=12ln⁡(x2(2x4+x2+1+2x2+1)2x4+x2+1+x2+2)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{(x^2+1)\,dx}{x\sqrt{x^4+x^2+1}}
&=\dfrac{1}{2}\ln\left(
\dfrac{x^2\left(2\sqrt{x^4+x^2+1}+2x^2+1\right)}
{2\sqrt{x^4+x^2+1}+x^2+2}
\right)+C
\end{aligned}Аргумент логарифма положителен при x≠0x\ne0.
Демидович № 1979 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика