Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1984

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1984

∫x5 dx1−x2\displaystyle\int\frac{x^5\,dx}{\sqrt{1-x^2}}.
Ответ:−1−x2+23(1−x2)32−15(1−x2)52+C,−1<x<1-\sqrt{1-x^2}+\dfrac23(1-x^2)^{\frac32}
-\dfrac15(1-x^2)^{\frac52}+C,
\qquad -1<x<1

Решение

Из-за квадратного корня в знаменателе работаем на промежутке
−1<x<1-1<x<1. Положимu=1−x2,du=−2x dxu=1-x^2,
\qquad
du=-2x\,dxПоскольку x4=(1−u)2x^4=(1-u)^2, получаем∫x5 dx1−x2=−12∫(1−u)2u du==−12∫(u−12−2u12+u32)du==−u+23u32−15u52+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^5\,dx}{\sqrt{1-x^2}}
&=-\dfrac12\int\dfrac{(1-u)^2}{\sqrt{u}}\,du=\\
&=-\dfrac12\int
\left(u^{-\frac12}-2u^{\frac12}+u^{\frac32}\right)du=\\
&=-\sqrt{u}+\dfrac23u^{\frac32}
-\dfrac15u^{\frac52}+C
\end{aligned}Возвращаемся к переменной xx.
Демидович № 1984 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика