Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1988

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x^3\sqrt[5]{1+\frac1x}}

Ответ:

\dfrac54\left(\sqrt[5]{1+\dfrac1x}\right)^4 -\dfrac59\left(\sqrt[5]{1+\dfrac1x}\right)^9+C, \qquad x\ne-1,\qquad x\ne0

Решение

Поскольку используется вещественный корень пятой степени,
подынтегральная функция определена при

x\ne-1, \qquad x\ne0

Положим

t=\sqrt[5]{1+\dfrac1x}

Из области определения исходного интеграла следуют условия

t\ne0

t^5\ne1

, поэтому все дальнейшие деления допустимы.
Тогда

t^5=1+\dfrac1x, \qquad x=\dfrac1{t^5-1}, \qquad dx=-\dfrac{5t^4}{(t^5-1)^2}\,dt

Подставляя эти выражения в интеграл, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^3\sqrt[5]{1+\dfrac1x}} &=\int\dfrac{(t^5-1)^3}{t} \left(-\dfrac{5t^4}{(t^5-1)^2}\right)dt=\\ &=-5\int t^3(t^5-1)\,dt =-5\int(t^8-t^3)\,dt =-\dfrac59t^9+\dfrac54t^4+C\end{aligned}

На каждом из промежутков

(-\infty,-1), \qquad (-1,0), \qquad (0,+\infty)

постоянная

C

выбирается независимо.