Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1980

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

Задача 1980

Доказать, что нахождение интеграла∫R(x,ax+b,cx+d) dx,\int R\bigl(x,\sqrt{ax+b},\sqrt{cx+d}\bigr)\,dx,где RR --- рациональная функция, сводится к интегрированию рациональной функции.
Доказано:Введяu=ax+b,v=cx+du=\sqrt{ax+b},
\qquad
v=\sqrt{cx+d}получаем конику cu2−av2=cb−adcu^2-av^2=cb-ad. Её рациональная параметризация выражает uu, vv, xx и dxdx рационально через один параметр; вырожденные случаи сводятся к подстановке одного линейного корня. Поэтому интеграл сводится к интегралу рациональной функции.

Доказательство

Пусть RR — рациональная функция своих аргументов, указанная в условии. Рассмотрим любой промежуток, на котором оба корня принимают действительные значения, и обозначимu=ax+b,v=cx+du=\sqrt{ax+b},
\qquad
v=\sqrt{cx+d}Исключая xx, получаем уравнение коникиcu2−av2=cb−adcu^2-av^2=cb-adСначала пусть a≠0a\ne0, c≠0c\ne0 и ad−bc≠0ad-bc\ne0. Выберем на рассматриваемой дуге точку (u0,v0)(u_0,v_0) и проведём через неё прямуюv=v0+t(u−u0)v=v_0+t(u-u_0)Подставляя её в уравнение коники и используя равенство cu02−av02=cb−adcu_0^2-av_0^2=cb-ad, находим(u−u0)[2(cu0−atv0)+(c−at2)(u−u0)]=0\begin{aligned}
&(u-u_0)\left[
2(cu_0-atv_0)+(c-at^2)(u-u_0)
\right]=0
\end{aligned}При c−at2≠0c-at^2\ne0 второе пересечение прямой с коникой задаётся формуламиu=u0+2(atv0−cu0)c−at2v=v0+t(u−u0)\begin{aligned}
u&=u_0+\dfrac{2(atv_0-cu_0)}{c-at^2}\\
v&=v_0+t(u-u_0)
\end{aligned}Значения tt, для которых c−at2=0c-at^2=0, изолированы. Если такое значение соответствует нужной дуге, её покрывают другой прямой или выбирают другую исходную точку. Для неопределённого интеграла достаточно локальной рациональной параметризации на каждом промежутке.

Следовательно, u=u(t)u=u(t) и v=v(t)v=v(t) являются рациональными функциями параметра tt. Так как a≠0a\ne0, имеемx(t)=u(t)2−ba,dx=x′(t) dtx(t)=\dfrac{u(t)^2-b}{a},
\qquad
dx=x'(t)\,dtПоэтому x(t)x(t) и x′(t)x'(t) также рациональны. После подстановки выражениеR(x(t),u(t),v(t))x′(t) dtR\bigl(x(t),u(t),v(t)\bigr)x'(t)\,dtявляется рациональной функцией переменной tt, умноженной на dtdt.

Осталось рассмотреть вырожденные случаи. Если ad−bc=0ad-bc=0 и a,c≠0a,c\ne0, то линейные многочлены пропорциональны:cx+d=ca(ax+b)cx+d=\dfrac{c}{a}(ax+b)На любом непустом действительном промежутке определения ca>0\dfrac{c}{a}>0 иv=ca uv=\sqrt{\dfrac{c}{a}}\,uПоэтому замена u=ax+bu=\sqrt{ax+b} даётx=u2−ba,dx=2ua dux=\dfrac{u^2-b}{a},
\qquad
dx=\dfrac{2u}{a}\,duи снова приводит к рациональной функции.

Если a=0a=0, но c≠0c\ne0, то ax+b=b\sqrt{ax+b}=\sqrt b является постоянной, а замена v=cx+dv=\sqrt{cx+d} рационализирует оставшийся корень. Случай c=0c=0, a≠0a\ne0 рассматривается аналогично. При a=c=0a=c=0 оба корня постоянны, и исходная подынтегральная функция уже рациональна по xx.

Таким образом, во всех случаях нахождение данного интеграла сводится к интегрированию рациональной функции.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1980 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика