Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1978

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные методы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}}

Ответ:

\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{\sqrt2}+C, \qquad |x|>\sqrt{\sqrt2-1}

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Корень находится в знаменателе, поэтому требуется

x^4+2x^2-1>0

Положив

y=x^2\geqslant0

, получаем

y^2+2y-1>0

, откуда

|x|>\sqrt{\sqrt2-1}

На этой области

x\ne0

. Сделаем последовательные замены

u=x^2, \qquad t=\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{x^2}

Так как

u>0

t>0

, при второй замене

u=\dfrac1t, \qquad du=-\dfrac{dt}{t^2}, \qquad \sqrt{u^2+2u-1}=\dfrac{\sqrt{1+2t-t^2}}{t}

Множители

t

сокращаются, и потому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}} &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{du}{u\sqrt{u^2+2u-1}}=\\ &=-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{1+2t-t^2}}\end{aligned}

Поскольку

1+2t-t^2=2-(t-1)^2

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^4+2x^2-1}} &=-\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{t-1}{\sqrt2}+C=\\ &=\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{\sqrt2}+C\end{aligned}