Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1981

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1981

∫x3+x4 dx\displaystyle\int\sqrt{x^3+x^4}\,dx.
Ответ:Пустьz=x2+x,G(x)=13z3−2x+18z+116ln⁡∣2x+1+2z∣z=\sqrt{x^2+x},
\qquad
G(x)=\dfrac13z^3-\dfrac{2x+1}{8}z
+\dfrac1{16}\ln|2x+1+2z|Тогда{−G(x)+C,x<−1−G(x)+C,x>0\begin{cases}
-G(x)+C, & x<-1\\[2mm]
\phantom{-}G(x)+C, & x>0
\end{cases}Полученные формулы непрерывно продолжаются соответственно до точек
x=−1x=-1 и x=0x=0.

Решение

Сначала найдём вещественную область определения. Неравенствоx3(1+x)⩾0x^3(1+x)\geqslant0выполняется приx∈(−∞,−1]∪[0,+∞)x\in(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)На внутренних точках этих промежутков положимz=x2+xz=\sqrt{x^2+x}Тогдаx3+x4=x2(x2+x)=∣x∣z\sqrt{x^3+x^4}=\sqrt{x^2(x^2+x)}=|x|zСначала вычислим вспомогательный интегралG(x)=∫xx2+x dxG(x)=\int x\sqrt{x^2+x}\,dxСделаем заменуu=x+12,x=u−12,z=u2−14u=x+\dfrac12,
\qquad
x=u-\dfrac12,
\qquad
z=\sqrt{u^2-\dfrac14}ПолучаемG(x)=∫uu2−14 du−12∫u2−14 duG(x)=\int u\sqrt{u^2-\dfrac14}\,du
-\dfrac12\int\sqrt{u^2-\dfrac14}\,duВыведем две нужные формулы. В первом интеграле замена w=u2−a2w=u^2-a^2, dw=2u dudw=2u\,du даёт∫uu2−a2 du=13(u2−a2)32\int u\sqrt{u^2-a^2}\,du
=\dfrac13(u^2-a^2)^{\frac32}Для второго интеграла обозначим H=∫u2−a2 duH=\int\sqrt{u^2-a^2}\,du и проинтегрируем по частям:H=uu2−a2−∫u2u2−a2 du==uu2−a2−H−a2∫duu2−a2\begin{aligned}
H
&=u\sqrt{u^2-a^2}
-\int\dfrac{u^2}{\sqrt{u^2-a^2}}\,du=\\
&=u\sqrt{u^2-a^2}-H
-a^2\int\dfrac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}
\end{aligned}В последнем интеграле проверим первообразную дифференцированием:(ln⁡∣u+u2−a2∣)′=1+uu2−a2u+u2−a2==1u2−a2\begin{aligned}
\left(\ln\left|u+\sqrt{u^2-a^2}\right|\right)'
&=\dfrac{1+\dfrac{u}{\sqrt{u^2-a^2}}}
{u+\sqrt{u^2-a^2}}=\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{u^2-a^2}}
\end{aligned}Перенося HH в левую часть и деля равенство на 22, получаем∫u2−a2 du=u2u2−a2−a22ln⁡∣u+u2−a2∣\int\sqrt{u^2-a^2}\,du
=\dfrac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2}
-\dfrac{a^2}{2}\ln\left|u+\sqrt{u^2-a^2}\right|При a=12a=\dfrac12 отсюда следуетG(x)=13z3−2x+18z+116ln⁡∣2x+1+2z∣+CG(x)=\dfrac13z^3-\dfrac{2x+1}{8}z
+\dfrac1{16}\ln|2x+1+2z|+CПоскольку ∣x∣=−x|x|=-x при x<−1x<-1 и ∣x∣=x|x|=x при x>0x>0,
на первом промежутке нужно взять −G(x)-G(x), а на втором --- G(x)G(x).
На разных промежутках постоянная CC может принимать независимые значения.
Демидович № 1981 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика