Раздел III. Неопределённый интеграл — § 3. Интегрирование иррациональных функций

Демидович — задача 1987

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt[6]{1+x^6}}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac16\ln\dfrac{1-u}{1+u} +\dfrac1{12}\ln\dfrac{u^2-u+1}{u^2+u+1} -\dfrac1{2\sqrt3} \left[ \arctg \left(\dfrac{2u+1}{\sqrt3}\right) +\arctg \left(\dfrac{2u-1}{\sqrt3}\right) \right]+C,\end{aligned}\qquad u=\dfrac1{\sqrt[6]{1+x^6}}, \qquad x\ne0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

. Положим

u=\dfrac1{\sqrt[6]{1+x^6}}

При

x\ne0

выполняется

0<u<1

. Далее,

u^6=\dfrac1{1+x^6}, \qquad 1-u^6=\dfrac{x^6}{1+x^6}

Дифференцируя замену, получаем

du=-\dfrac{x^5}{(1+x^6)^{\frac76}}\,dx

Следовательно,

\begin{aligned} -\dfrac{du}{1-u^6} &=\dfrac{x^5}{(1+x^6)^{\frac76}} \dfrac{1+x^6}{x^6}\,dx=\\ &=\dfrac{dx}{x\sqrt[6]{1+x^6}}\end{aligned}

Поэтому

I=-\int\dfrac{du}{1-u^6}

Разложим рациональную дробь на простейшие:

\begin{aligned} \dfrac1{1-u^6} &=\dfrac1{6(1-u)}+\dfrac1{6(1+u)} +\dfrac{u+2}{6(u^2+u+1)} +\dfrac{-u+2}{6(u^2-u+1)}\end{aligned}

Проверить коэффициенты можно попарным объединением:

\dfrac1{6(1-u)} +\dfrac{u+2}{6(u^2+u+1)} =\dfrac1{2(1-u^3)}

\dfrac1{6(1+u)} +\dfrac{-u+2}{6(u^2-u+1)} =\dfrac1{2(1+u^3)}

Сумма двух последних выражений действительно равна

\dfrac1{1-u^6}

. Для интегрирования квадратных множителей используем

u+2=\dfrac12(2u+1)+\dfrac32, \qquad -u+2=-\dfrac12(2u-1)+\dfrac32,

u^2\pm u+1 =\left(u\pm\dfrac12\right)^2+\dfrac34

Отсюда

\begin{aligned} \int\dfrac{u+2}{u^2+u+1}\,du &=\dfrac12\ln(u^2+u+1) +\sqrt3\, \arctg \left(\dfrac{2u+1}{\sqrt3}\right)+C,\end{aligned}

\begin{aligned} \int\dfrac{-u+2}{u^2-u+1}\,du &=-\dfrac12\ln(u^2-u+1) +\sqrt3\, \arctg \left(\dfrac{2u-1}{\sqrt3}\right)+C\end{aligned}

После почленного интегрирования с учётом внешнего знака минус получаем

\begin{aligned} I &=\dfrac16\ln\dfrac{1-u}{1+u} +\dfrac1{12}\ln\dfrac{u^2-u+1}{u^2+u+1} -\dfrac1{2\sqrt3} \left[ \arctg \left(\dfrac{2u+1}{\sqrt3}\right) +\arctg \left(\dfrac{2u-1}{\sqrt3}\right) \right]+C\end{aligned}

Так как

0<u<1

, все аргументы логарифмов положительны.
На промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)

постоянная

C

может принимать независимые значения.