Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 819

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 819

Найти все непрерывные ограниченные функции

f(x)

g(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющие для всех вещественных значений

x

y

системе уравнений:

f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y),

g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),

и, сверх того, условиям нормировки:

f(0)=1\quad\text{и}\quad g(0)=0.

Указание. Рассмотреть функцию

F(x)=f^2(x)+g^2(x).

Опирается на задачу 812, задачу 818

Решение

Идея

Положим

F(x)=f^2(x)+g^2(x).

Используя оба уравнения системы,

F(x+y)\mathrel{=}

Функция

F

непрерывна, ограничена и

F(0)=1

. По задаче 812

F(x)=a^x,\quad a>0.

Но

F

ограничена на всей числовой прямой. При

a>1

функция

a^x

неограниченна при

x\to+\infty

, а при

0<a<1

- при

x\to-\infty

. Поэтому

a=1

, то есть

f^2(x)+g^2(x)=1.

1
Подставим в систему $y=-x$ . Из условий $f(0)=1$ , $g(0)=0$ получаем $f(x)f(-x)-g(x)g(-x)=1,$ $f(x)g(-x)+f(-x)g(x)=0.$ Так как $f^2(x)+g^2(x)=1$ , эта система дает $f(-x)=f(x),\quadg(-x)=-g(x).$
2
Теперь $f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),$ поэтому $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).$ По задаче 818 непрерывная функция $f$ имеет вид $0$ , $\cos(cx)$ или $\operatorname{ch}(cx)$ . Условие $f(0)=1$ исключает нулевое решение, а ограниченность исключает $\operatorname{ch}(cx)$ при $c\ne0$ . Значит, $f(x)=\cos(cx)$ для некоторого $c\in\mathbb R$ .
3
Если $c=0$ , то $f\equiv1$ , а из $f^2+g^2=1$ получаем $g\equiv0$ .

Пусть $c\ne0$ . Первое уравнение системы теперь имеет вид $\cos(c(x+y))=\cos(cx)\cos(cy)-g(x)g(y).$ Правая часть очень похожа на формулу косинуса суммы $\cos(c(x+y))=\cos(cx)\cos(cy)-\sin(cx)\sin(cy).$ Действительно, приравнивая правые части этих двух равенств, получаем $g(x)g(y)=\sin(cx)\sin(cy).$ Выберем $y_0$ так, чтобы $\sin(cy_0)\ne0$ . При $x=y=y_0$ имеем $g^2(y_0)=\sin^2(cy_0),$ поэтому $g(y_0)=\pm\sin(cy_0).$ Теперь в равенстве $g(x)g(y_0)=\sin(cx)\sin(cy_0)$ можно разделить на $g(y_0)\ne0$ . Если $g(y_0)=\sin(cy_0)$ , то $g(x)=\sin(cx),$ а если $g(y_0)=-\sin(cy_0)$ , то $g(x)=-\sin(cx).$ Знак можно включить в постоянную $c$ , поскольку $\cos(-cx)=\cos(cx)$ , а $\sin(-cx)=-\sin(cx)$ .

Проверка

Итак,

\boxed{f(x)=\cos(cx),\quadg(x)=\sin(cx),\quadc\in\mathbb R.}