Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 814

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция

f(x)

(0<x<+\infty)

, удовлетворяющая для всех положительных значений

x

y

уравнению

f(xy)=f(x)+f(y),

есть логарифмическая функция

f(x)=\log_a x,

где

a

- положительная константа.

Опирается на

Доказательство

Положим

g(t)=f(e^t),\quad -\infty<t<+\infty.

Функция

g

непрерывна, а для любых

s,t\in\mathbb R

g(s+t)=f(e^{s+t})=f(e^se^t)=f(e^s)+f(e^t)=g(s)+g(t).

По задаче

g(t)=ct

для некоторой постоянной

c

. Так как

t=\ln x

f(x)=c\ln x.

Функция

f

не равна нулю тождественно, поэтому

c\ne0

Выберем

a>0

a\ne1

, так чтобы

\ln a=1/c

, то есть

a=e^{1/c}

. Тогда

c\ln x=\frac{\ln x}{\ln a}=\log_a x.

Следовательно,

\boxed{f(x)=\log_a x,\quad a>0,\quad a\ne1}.

Проверка

Обратно, при

a>0

a\ne1

логарифм непрерывен на

(0,+\infty)

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Что и требовалось доказать