Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 820

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 820

ПустьΔf(x)=f(x+Δx)−f(x)\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)иΔ2f(x)=Δ{Δf(x)}\Delta^2f(x)=\Delta\{\Delta f(x)\}суть конечные разности функции f(x)f(x) соответственно первого и второго порядков.

Доказать, что если функция f(x)f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) непрерывная и Δ2f(x)≡0\Delta^2f(x)\equiv0, то эта функция линейная, т. е. f(x)=ax+bf(x)=ax+b, где aa и bb - постоянные.

Опирается на задачу 809

Доказательство

Идея

Условие Δ2f(x)≡0\Delta^2f(x)\equiv0 понимается для любого x∈Rx\in\mathbb R и любого приращения Δx\Delta x. По определениюΔ2f(x)=f(x+2Δx)−2f(x+Δx)+f(x),\Delta^2f(x)=f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x),поэтомуf(x+2Δx)+f(x)=2f(x+Δx).f(x+2\Delta x)+f(x)=2f(x+\Delta x).Для произвольных u,v∈Ru,v\in\mathbb R положим x=ux=u, Δx=(v−u)/2\Delta x=(v-u)/2. Тогдаf(u+v2)=f(u)+f(v)2.(1)f\left(\frac{u+v}{2}\right)=\frac{f(u)+f(v)}2.
\tag{1}

Проверка

Положим g(x)=f(x)−f(0)g(x)=f(x)-f(0). Функция gg непрерывна, g(0)=0g(0)=0, и для нее также выполняется (1). При v=0v=0g(u2)=g(u)2,g\left(\frac u2\right)=\frac{g(u)}2,то есть g(2u)=2g(u)g(2u)=2g(u). Теперь в (1) заменим uu на 2x2x, vv на 2y2y:g(x+y)=g(2x)+g(2y)2=g(x)+g(y).g(x+y)=\frac{g(2x)+g(2y)}2=g(x)+g(y).Таким образом, gg — непрерывная аддитивная функция, поэтому по задаче 809 g(x)=axg(x)=ax. Значит,f(x)=ax+f(0).f(x)=ax+f(0).Обозначая b=f(0)b=f(0), получаемf(x)=ax+b.\boxed{f(x)=ax+b}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 820 — решение | Высшая математика — Профиматика