Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 813

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что не равная нулю тождественно функция

f(x)

, ограниченная в интервале

(0,\varepsilon)

и удовлетворяющая уравнению (2), есть показательная.

Доказательство

Идея

Как и в задаче 812, из уравнения (2) получаем

f(0)=1

, функция нигде не обращается в нуль и

f(x)=f^2\left(\frac x2\right)>0.

Положим

g(x)=\ln f(x)

. Тогда

g(x+y)=g(x)+g(y).

Остается показать, что

g

ограничена в некоторой окрестности нуля. По условию существует

M>0

такое, что

0<f(x)\le M\quad(0<x<\varepsilon).

Возьмем

c=\varepsilon/2

. Для

0<x<c

число

c-x

также принадлежит

(0,\varepsilon)

, и

f(c)=f(x)f(c-x).

Так как

f(c-x)\le M

f(x)\ge\frac{f(c)}{M}.

Таким образом, при

0<x<c

\frac{f(c)}M\le f(x)\le M,

поэтому

g(x)=\ln f(x)

ограничена на

(0,c)

. Из

g(-x)=-g(x)

она ограничена и на

(-c,c)

Проверка

По задаче 811 аддитивная функция

g

, ограниченная в окрестности нуля, линейна:

g(x)=kx.

Значит,

\boxed{f(x)=e^{kx}=a^x,\quad a=e^k>0}.

Что и требовалось доказать