Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 811

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 811

Доказать, что функция f(x)f(x), удовлетворяющая уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом интервале (−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon), есть линейная однородная.

Опирается на

Доказательство

Пусть для некоторого ε>0\varepsilon>0 функция ограничена в (−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon), то есть существует M>0M>0 такое, что∣f(x)∣≤M(∣x∣<ε).|f(x)|\le M\quad(|x|<\varepsilon).
Покажем непрерывность в нуле. Возьмем произвольное η>0\eta>0 и выберем натуральное nn так, чтобы M/n<ηM/n<\eta. Если∣x∣<εn,|x|<\frac{\varepsilon}{n},то ∣nx∣<ε|nx|<\varepsilon, поэтомуn∣f(x)∣=∣f(nx)∣≤M.n|f(x)|=|f(nx)|\le M.Отсюда ∣f(x)∣≤M/n<η|f(x)|\le M/n<\eta. Значит,lim⁡x→0f(x)=0=f(0).\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0).
Из уравнения (1)f(x+h)−f(x)=f(h),f(x+h)-f(x)=f(h),поэтому непрерывность в нуле дает непрерывность в каждой точке xx.

Проверка

По задаче непрерывная функция, удовлетворяющая (1), имеет видf(x)=ax.\boxed{f(x)=ax}.

Что и требовалось доказать