Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 816

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти все непрерывные функции

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющие для всех вещественных значений

x

y

уравнению (3).

Опирается на

Решение

Тождественно нулевая функция

f(x)\equiv0

удовлетворяет уравнению

f(xy)=f(x)f(y).

Пусть теперь

f\not\equiv0

. Тогда существует

x_0\in\mathbb R

, для которого

f(x_0)\ne0

, и из

f(x_0)=f(x_0\cdot1)=f(x_0)f(1)

получаем

f(1)=1.

Подставляя

x=y=0

, имеем

f(0)=f^2(0),

поэтому

f(0)=0

или

f(0)=1

Если

f(0)=1

, то для любого

x

1=f(0)=f(0\cdot x)=f(0)f(x)=f(x),

то есть

f(x)\equiv1.

Рассмотрим теперь случай

f(0)=0

. На положительной полуоси функция не равна нулю тождественно, так как

f(1)=1

. По задаче существует

a\in\mathbb R

такое, что

f(x)=x^a,\qquad x>0.

Так как

f

непрерывна в нуле и

f(0)=0

\lim_{x\to0+}x^a=0,

что возможно только при

a>0.

Остается определить значения функции при

x<0

. Из

f(-1)^2=f(1)=1

имеем

f(-1)=1\quad\text{или}\quadf(-1)=-1.

Для любого

x<0

число

-x

положительно, поэтому

f(x)=f((-1)(-x))=f(-1)f(-x)=f(-1)|x|^a.

Если

f(-1)=1

, получаем

f(x)=|x|^a.

Если

f(-1)=-1

, то

f(x)=\operatorname{sgn}x\,|x|^a.

При

a>0

обе функции непрерывны и в точке

0

Проверка

Таким образом, все непрерывные решения имеют вид

\boxed{f(x)\equiv0,\qquadf(x)\equiv1,\qquadf(x)=|x|^a,\qquadf(x)=\operatorname{sgn}x\,|x|^a,\quad a>0.}

Обратная проверка: для постоянных

0

1

равенство выполняется непосредственно. Для двух остальных семейств используем

|xy|^a=|x|^a|y|^a

\operatorname{sgn}(xy)=\operatorname{sgn}x\operatorname{sgn}y

; эти равенства верны и при нулевом аргументе.