Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 816

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти все непрерывные функции

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющие для всех вещественных значений

x

y

уравнению (3).

Опирается на задачу 815

Решение

Идея

Тождественно нулевая функция

f(x)\equiv0

удовлетворяет уравнению

f(xy)=f(x)f(y).

Пусть теперь

f\not\equiv0

. Тогда существует

x_0\in\mathbb R

, для которого

f(x_0)\ne0

, и из

f(x_0)=f(x_0\cdot1)=f(x_0)f(1)

получаем

f(1)=1.

1
Подставляя $x=y=0$ , имеем $f(0)=f^2(0),$ поэтому $f(0)=0$ или $f(0)=1$ .
2
Если $f(0)=1$ , то для любого $x$ $1=f(0)=f(0\cdot x)=f(0)f(x)=f(x),$ то есть $f(x)\equiv1.$
3
Рассмотрим теперь случай $f(0)=0$ . На положительной полуоси функция не равна нулю тождественно, так как $f(1)=1$ . По задаче 815 существует $a\in\mathbb R$ такое, что $f(x)=x^a,\qquad x>0.$ Так как $f$ непрерывна в нуле и $f(0)=0$ , $\lim_{x\to0+}x^a=0,$ что возможно только при $a>0.$ Остается определить значения функции при $x<0$ . Из $f(-1)^2=f(1)=1$ имеем $f(-1)=1\quad\text{или}\quadf(-1)=-1.$ Для любого $x<0$ число $-x$ положительно, поэтому $f(x)=f((-1)(-x))=f(-1)f(-x)=f(-1)|x|^a.$
4
Если $f(-1)=1$ , получаем $f(x)=|x|^a.$ Если $f(-1)=-1$ , то $f(x)=\operatorname{sgn}x\,|x|^a.$ При $a>0$ обе функции непрерывны и в точке $0$ .

Проверка

Таким образом, все непрерывные решения имеют вид

\boxed{f(x)\equiv0,\qquadf(x)\equiv1,\qquadf(x)=|x|^a,\qquadf(x)=\operatorname{sgn}x\,|x|^a,\quad a>0.}