Демидович — задача 815

1. 1
   Функция $f$ нигде на $(0,+\infty)$ не обращается в нуль. Если бы $f(x_1)=0$ для некоторого $x_1>0$, то$$1=f(1)=f\left(x_1\cdot\frac1{x_1}\right)$$
   =f(x_1)f\left(\frac1{x_1}\right)=0,что невозможно.
   
   Кроме того, при любом $x>0$$$f(x)=f(\sqrt{x}\,\sqrt{x})=f^2(\sqrt{x})>0.$$
2. 2
   Положим$$g(t)=f(e^t),\qquad t\in\mathbb R.$$Функция $g$ непрерывна и положительна. Для любых $s,t\in\mathbb R$$$g(s+t)$$
   =
   f(e^{s+t})
   =
   f(e^se^t)
   =
   f(e^s)f(e^t)
   =
   g(s)g(t).По задаче 812 непрерывная ненулевая функция, удовлетворяющая этому уравнению, имеет вид$$g(t)=c^t,\qquad c>0.$$Запишем $c=e^a$. Тогда $g(t)=e^{at}$.
3. 3
   Для произвольного $x>0$ положим $t=\ln x$. Имеем$$f(x)=g(\ln x)=e^{a\ln x}=x^a.$$Таким образом,$$\boxed{f(x)=x^a,\qquad a\in\mathbb R}.$$

Что и требовалось доказать