Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 815

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция

f(x)

(0<x<+\infty)

, удовлетворяющая для всех положительных значений

x

y

уравнению

f(xy)=f(x)f(y),\tag{3}

есть степенная функция

f(x)=x^a,

где

a

- постоянная.

Опирается на

Доказательство

Так как

f\not\equiv0

, существует

x_0>0

, для которого

f(x_0)\ne0

. Из

f(x_0)=f(x_0\cdot1)=f(x_0)f(1)

получаем

f(1)=1

Функция

f

нигде на

(0,+\infty)

не обращается в нуль. Если бы

f(x_1)=0

для некоторого

x_1>0

, то

1=f(1)=f\left(x_1\cdot\frac1{x_1}\right)=f(x_1)f\left(\frac1{x_1}\right)=0,

что невозможно.

Кроме того, при любом

x>0

f(x)=f(\sqrt{x}\,\sqrt{x})=f^2(\sqrt{x})>0.

Положим

g(t)=f(e^t),\qquad t\in\mathbb R.

Функция

g

непрерывна и положительна. Для любых

s,t\in\mathbb R

g(s+t)=f(e^{s+t})=f(e^se^t)=f(e^s)f(e^t)=g(s)g(t).

По задаче непрерывная ненулевая функция, удовлетворяющая этому уравнению, имеет вид

g(t)=c^t,\qquad c>0.

Запишем

c=e^a

. Тогда

g(t)=e^{at}

Для произвольного

x>0

положим

t=\ln x

. Имеем

f(x)=g(\ln x)=e^{a\ln x}=x^a.

Таким образом,

\boxed{f(x)=x^a,\qquad a\in\mathbb R}.

Проверка

Любая функция

f(x)=x^a

непрерывна при

x>0

и удовлетворяет

f(xy)=(xy)^a=x^ay^a=f(x)f(y),

поэтому других решений нет.

Что и требовалось доказать