Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 809

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 809

Доказать, что единственная непрерывная функция f(x)f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), удовлетворяющая для всех вещественных значений xx и yy уравнениюf(x+y)=f(x)+f(y),(1)f(x+y)=f(x)+f(y),
\tag{1}есть линейная однородная функцияf(x)=ax,f(x)=ax,где a=f(1)a=f(1) - произвольная константа.

Доказательство

Идея

Положим в (1) x=y=0x=y=0. Тогда f(0)=2f(0)f(0)=2f(0), откуда f(0)=0f(0)=0. Далее из 0=f(x−x)=f(x)+f(−x)0=f(x-x)=f(x)+f(-x) имеем f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Для натурального nnf(nx)=f(x)+⋯+f(x)⏟n раз=nf(x).f(nx)=\underbrace{f(x)+\cdots+f(x)}_{n\text{ раз}}=nf(x).В частности, обозначив a=f(1)a=f(1), получаем f(n)=naf(n)=na для всех n∈Zn\in\mathbb Z.

Кроме того,f(x)=f(nxn)=nf(xn),f(x)=f\left(n\frac{x}{n}\right)=nf\left(\frac{x}{n}\right),поэтому f(x/n)=f(x)/nf(x/n)=f(x)/n. Для любого рационального числа r=m/nr=m/nf(r)=f(mn)=mnf(1)=ar.f(r)=f\left(\frac mn\right)=\frac mn f(1)=ar.

Проверка

Теперь возьмем произвольное x∈Rx\in\mathbb R и рациональную последовательность rn→xr_n\to x. По непрерывности fff(x)=lim⁡n→∞f(rn)=lim⁡n→∞arn=ax.f(x)=\lim_{n\to\infty}f(r_n)
=\lim_{n\to\infty}ar_n
=ax.Следовательно,f(x)=ax,a=f(1).\boxed{f(x)=ax,\quad a=f(1)}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 809 — решение