Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 810

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что монотонная функция

f(x)

, удовлетворяющая уравнению (1), есть линейная однородная.

Доказательство

Идея

Как и в предыдущей задаче, из уравнения (1) для любого рационального

r

имеем

f(r)=ar,\quad a=f(1).

1
Пусть сначала $f$ не убывает. Для произвольного $x\in\mathbb R$ выберем рациональные числа $r_n<x<s_n$ так, чтобы $r_n\to x$ и $s_n\to x$ . По монотонности $f(r_n)\le f(x)\le f(s_n),$ то есть $ar_n\le f(x)\le as_n.$ Обе крайние величины стремятся к $ax$ , поэтому $f(x)=ax$ .
2
Если $f$ не возрастает, то $f(r_n)\ge f(x)\ge f(s_n),$ и тем же предельным переходом снова получаем $f(x)=ax$ .

Проверка

Таким образом,

\boxed{f(x)=ax}.

Что и требовалось доказать