Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 810

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 810

Доказать, что монотонная функция f(x)f(x), удовлетворяющая уравнению (1), есть линейная однородная.

Доказательство

Как и в предыдущей задаче, из уравнения (1) для любого рационального rr имеемf(r)=ar,a=f(1).f(r)=ar,\quad a=f(1).
Пусть сначала ff не убывает. Для произвольного x∈Rx\in\mathbb R выберем рациональные числа rn<x<snr_n<x<s_n так, чтобы rn→xr_n\to x и sn→xs_n\to x. По монотонностиf(rn)≤f(x)≤f(sn),f(r_n)\le f(x)\le f(s_n),то естьarn≤f(x)≤asn.ar_n\le f(x)\le as_n.Обе крайние величины стремятся к axax, поэтому f(x)=axf(x)=ax.
Если ff не возрастает, тоf(rn)≥f(x)≥f(sn),f(r_n)\ge f(x)\ge f(s_n),и тем же предельным переходом снова получаем f(x)=axf(x)=ax.

Проверка

Таким образом,f(x)=ax.\boxed{f(x)=ax}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 810 — решение | Высшая математика — Профиматика