Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 812

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, удовлетворяющая для всех значений

x

y

уравнению

f(x+y)=f(x)f(y),\tag{2}

есть показательная функция

f(x)=a^x,

где

a=f(1)

- положительная постоянная.

Опирается на задачу 809

Доказательство

Идея

Положим

x=y=0

. Получаем

f(0)=f^2(0)

, поэтому

f(0)=0

или

f(0)=1

. Если

f(0)=0

, то из

f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)

следовало бы

f(x)\equiv0

, что исключено. Значит,

f(0)=1

Функция нигде не обращается в нуль: если

f(x_0)=0

, то

1=f(0)=f(x_0)f(-x_0)=0,

что невозможно. Кроме того,

f(x)=f\left(\frac x2+\frac x2\right)=f^2\left(\frac x2\right)>0.

Проверка

Поэтому можно положить

g(x)=\ln f(x).

Функция

g

непрерывна и из (2)

g(x+y)=\ln(f(x)f(y))=g(x)+g(y).

По задаче 809

g(x)=cx

, где

c=g(1)=\ln f(1)

. Тогда

f(x)=e^{g(x)}=e^{cx}=(e^c)^x.

Обозначая

a=e^c=f(1)>0

, получаем

\boxed{f(x)=a^x,\quad a>0}.

Что и требовалось доказать