Раздел I. Введение в анализ — § 10. Функциональные уравнения

Демидович — задача 817

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 817

Показать, что разрывная функцияf(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn}xудовлетворяет уравнению (3).

Доказательство

Идея

Для любых вещественных xx и yysgn⁡(xy)=sgn⁡xsgn⁡y.\operatorname{sgn}(xy)
=
\operatorname{sgn}x\operatorname{sgn}y.Это равенство верно и при x=0x=0 или y=0y=0, поскольку sgn⁡0=0\operatorname{sgn}0=0.

Проверка

Следовательно,f(xy)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y),то есть функция sgn⁡x\operatorname{sgn}x удовлетворяет уравнению (3). При этомlim⁡x→0−0sgn⁡x=−1,lim⁡x→0+0sgn⁡x=1,\lim_{x\to0-0}\operatorname{sgn}x=-1,
\quad
\lim_{x\to0+0}\operatorname{sgn}x=1,поэтому она разрывна в точке x=0x=0.

Что и требовалось доказать

Демидович № 817 — решение