14 Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые существуют только в пространстве. Они не параллельны, но и не имеют общей точки, потому что не лежат в одной плоскости.
Пусть
\[\ell_1:\ \vec r=\vec a+t\vec u,
\qquad
\ell_2:\ \vec r=\vec b+s\vec v,\]
причём \(\vec u\times\vec v\ne\vec{0}\). Вектор \(\vec u\times\vec v\) перпендикулярен обеим прямым. Модуль компоненты соединяющего вектора \(\vec b-\vec a\) вдоль этого общего нормального направления равен расстоянию:
\[\rho(\ell_1,\ell_2)
=\frac{|(\vec b-\vec a)\cdot(\vec u\times\vec v)|}
{\lVert \vec u\times\vec v \rVert}\]
или, через смешанное произведение,
\[\boxed{
\displaystyle
\rho(\ell_1,\ell_2)
=\frac{\left|\left(\vec{b-a},\vec u,\vec v\right)\right|}
{\lVert \vec u\times\vec v \rVert}
}\]
Геометрически числитель — объём параллелепипеда, а знаменатель — площадь его основания. Их отношение равно высоте.
Если \(\vec u\times\vec v=\vec{0}\), формула даёт деление на ноль и неприменима: прямые параллельны или совпадают. Для параллельных прямых используют расстояние от любой точки одной прямой до другой.