15 Как выбрать формулу

Длина и расстояние между точками

\(\lVert \vec a \rVert\), \(\lVert \overrightarrow{AB} \rVert\)

Координаты вычтены как «конец минус начало»

Угол или ортогональность

Скалярное произведение

Векторы ненулевые, если нужен угол

Скалярная или векторная проекция

\(\mathop{\text{пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a\), \(\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a\)

\(\vec b\ne\vec{0}\); первая величина является числом, вторая — вектором

Коллинеарность в \(\R^3\)

\(\vec a\times\vec b=\vec{0}\)

Критерий включает случай нулевого вектора

Площадь треугольника

\(\tfrac12\lVert \vec a\times\vec b \rVert\)

Векторы выходят из одной вершины

Объём и компланарность

Смешанное произведение

Для объёма берётся модуль

Прямая по двум точкам

Направление \(B-A\)

Точки различны

Плоскость по трём точкам

\((B-A)\times(C-A)\)

Точки не лежат на одной прямой

Пересечение объектов

Подстановка параметров или система

Полученная точка удовлетворяет всем уравнениям

Точка–прямая или точка–плоскость

Нормированное отклонение либо площадь/основание

Модуль в числителе, длина нормали в знаменателе

Взаимное положение пространственных прямых

Сначала \(\vec u\times\vec v\); при \(\vec u\times\vec v\ne\vec{0}\) проверить \(\left(\vec{b-a},\vec u,\vec v\right)\)

При \(\vec u\times\vec v=\vec{0}\) направления параллельны; иначе ноль означает пересечение, ненулевое значение — скрещивание

Расстояние между непараллельными пространственными прямыми

\(\rho=\dfrac{|\left(\vec{b-a},\vec u,\vec v\right)|}{\lVert \vec u\times\vec v \rVert}\)

Требуется \(\vec u\times\vec v\ne\vec{0}\)