19 Итог

Вектор между точками

\(\overrightarrow{AB}=B-A\)

Длина

\(\lVert \vec a \rVert=\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}\)

Коллинеарность

\(\alpha\vec a+\beta\vec b=\vec{0}\) при \((\alpha,\beta)\ne(0,0)\); в \(\R^3\): \(\vec a\times\vec b=\vec{0}\)

Угол и ортогональность

\(\cos\varphi=(\vec a\cdot\vec b)/(\lVert \vec a \rVert\lVert \vec b \rVert)\) при \(\vec a\ne\vec{0}\), \(\vec b\ne\vec{0}\); перпендикулярность означает нулевое произведение

Скалярная проекция

\(\mathop{\text{пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a=(\vec a\cdot\vec b)/\lVert \vec b \rVert\) — число, где \(\vec b\ne\vec{0}\)

Векторная проекция

\(\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a=(\vec a\cdot\vec b)\vec b/\lVert \vec b \rVert^{2}\), где \(\vec b\ne\vec{0}\)

Векторное произведение

Перпендикулярно сомножителям; его длина равна площади параллелограмма

Смешанное произведение

Модуль равен объёму; ноль равносилен компланарности

Прямая

\(\vec r=\vec r_0+t\vec v\), где \(\vec v\ne\vec{0}\)

Плоскость

\((\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0\), где \(\vec n\ne\vec{0}\)

Прямая на плоскости

\(Ax+By+C=0\), \((A,B)\ne(0,0)\); нормаль \((A,B)\)

Плоскость в пространстве

\(Ax+By+Cz+D=0\), \((A,B,C)\ne(0,0,0)\); нормаль \((A,B,C)\)

Точка–прямая в \(\R^3\)

\(\rho=\lVert \overrightarrow{AP}\times\vec v \rVert/\lVert \vec v \rVert\), где \(\vec v\ne\vec{0}\)

Точка–плоскость

\(\rho=|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}\)

Непараллельные прямые

\(\rho=|\left(\vec{b-a},\vec u,\vec v\right)|/\lVert \vec u\times\vec v \rVert\), где \(\vec u\times\vec v\ne\vec{0}\)