7 Векторное произведение, нормаль и площадь

Векторное произведение, нормаль и площадь

Векторное произведение определено для векторов в $\R^3$ со стандартным скалярным произведением и даёт новый вектор.

Будем считать систему координат правой: именно с такой ориентацией согласовано правило правой руки. В правой ортонормированной системе координат

\boxed{ \vec a\times\vec b =\bigl( a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1 \bigr) }

Обозначим через

\vec i=(1,0,0), \qquad \vec j=(0,1,0), \qquad \vec k=(0,0,1)

единичные векторы вдоль осей $x,y,z$ . В частности, для них

\vec i\times\vec j=\vec k.

Это равенство наглядно фиксирует ориентацию правой системы координат. Координатную формулу часто запоминают в виде

\vec a\times\vec b = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}

Это мнемоническая запись: её раскрывают по первой строке, учитывая знаки $+,-,+$ ; обычным числовым определителем она не является, потому что в первой строке стоят векторы.

Главные свойства:

\begin{aligned} \vec a\times\vec b&=-(\vec b\times\vec a),\\ (\lambda\vec a)\times\vec b &=\lambda(\vec a\times\vec b),\\ (\vec a+\vec b)\times\vec c &=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c,\\ \vec a\times\vec b&=\vec{0} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec a,\vec b\ \text{коллинеарны} \end{aligned}

Геометрический смысл длины:

S_{\text{параллелограмма}} =\lVert \vec a\times\vec b \rVert, \qquad S_{\triangle} =\frac12\lVert \vec a\times\vec b \rVert

Кроме того, если $\vec a$ и $\vec b$ неколлинеарны, то $\vec a\times\vec b$ служит ненулевой нормалью к плоскости, натянутой на эти векторы.

LaTeX — Векторное произведение задаёт нормаль к параллелограмму и его ориентацию