Ненулевой вектор характеризуется направлением и величиной; нулевой вектор — особый случай: его длина равна нулю, а выделенного направления нет. Геометрически вектор изображают направленным отрезком, но при вычислениях его удобно переносить параллельно самому себе: положение начала несущественно, если длина и направление сохраняются. Такой объект называют свободным вектором.
Запись \(\R^n\) обозначает множество упорядоченных наборов из \(n\) действительных чисел. В геометрических задачах чаще всего используются \(\R^2\) и \(\R^3\).
Для компактности координаты будем писать строкой \((a_1,\ldots,a_n)\), хотя в матричных вычислениях тот же упорядоченный набор часто записывают столбцом.
Точка и вектор записываются похожими наборами координат, но обозначают разные сущности. Точка \(A(x_A,y_A,z_A)\) задаёт положение, а вектор \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) — смещение. Радиус-вектор точки \(A\) идёт из начала координат \(O\) в \(A\):
\[\overrightarrow{OA}=(x_A,y_A,z_A)\]
Если вектор направлен из точки \(A\) в точку \(B\), его координаты находятся по правилу «конец минус начало»:
