9 Прямая на плоскости

Прямая на плоскости

Прямую можно задать одной точкой и ненулевым направляющим вектором или двумя различными точками. Разные формы уравнения описывают один и тот же объект, но удобны в разных задачах.

Пусть $M_0(x_0,y_0)$ лежит на прямой, а $\vec v=(p,q)\ne\vec{0}$ направлен вдоль неё.

Для произвольной точки $M(x,y)$ этой прямой обозначим её радиус-вектор через $\vec r=\overrightarrow{OM}$ , а радиус-вектор фиксированной точки $M_0$ — через $\vec r_0=\overrightarrow{OM_0}$ .

Разность радиус-векторов равна вектору между точками:

\vec r-\vec r_0=\overrightarrow{M_0M}

Поскольку точка $M$ лежит на прямой, вектор $\overrightarrow{M_0M}$ коллинеарен направлению $\vec v$ . Поэтому для некоторого $t\in\R$

\boxed{ \begin{aligned} \vec r-\vec r_0=t\vec v\\ \vec r=\vec r_0+t\vec v \end{aligned} }

Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, будем называть её нормальным вектором и обозначать $\vec n$ .

LaTeX — Направляющий вектор лежит вдоль прямой, а нормальный вектор перпендикулярен ей

Форма	Уравнение	Что видно сразу
Векторная	$\vec r=\vec r_0+t\vec v$ , $t\in\R$	Точка и направление
Параметрическая	$x=x_0+pt,\ y=y_0+qt$	Координаты каждой точки
Каноническая	$\dfrac{x-x_0}{p}=\dfrac{y-y_0}{q}$	Отношение смещений
Общая	$Ax+By+C=0$	Нормаль $\vec n=(A,B)$

В канонической форме нельзя буквально делить на нулевую координату направляющего вектора. Если $p=0$ , то $x=x_0$ ; если $q=0$ , то $y=y_0$ . Такие равенства записывают отдельно.

В общем уравнении коэффициенты $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Вектор

\vec n=(A,B)

перпендикулярен прямой, а в качестве направляющего можно взять

\vec v=(-B,A) \qquad\text{или}\qquad \vec v=(B,-A)

Действительно, $(A,B)\cdot(-B,A)=0$ .

Если известны две точки $M_0(x_0,y_0)$ и $M_1(x_1,y_1)$ , то

\vec v=\overrightarrow{M_0M_1} =(x_1-x_0,y_1-y_0)

Общее уравнение можно получить из условия коллинеарности:

\det\begin{pmatrix} x-x_0&y-y_0\\ x_1-x_0&y_1-y_0 \end{pmatrix}=0

Явная школьная форма $y=kx+b$ получается из $Ax+By+C=0$ только при $B\ne0$ . Вертикальная прямая $x=x_0$ такой формой не описывается, поэтому общая и параметрическая формы универсальнее.