Скалярное произведение, угол и ортогональность
В конспектах курса для того же скалярного произведения используется также запись
\[(\vec a,\vec b)=\vec a\cdot\vec b\]
В этой статье точка помогает визуально отличать скалярное произведение от смешанного.
В частности,
\[\vec a\cdot\vec a=\lVert \vec a \rVert^{2}\]
Если оба вектора ненулевые, скалярное произведение связано с углом \(\varphi\in[0,\pi]\) между ними геометрической формулой
\[\vec a\cdot\vec b
=\lVert \vec a \rVert\,\lVert \vec b \rVert\cos\varphi\]
Если один из векторов нулевой, произведение равно нулю, но угол не определяется.
Основные свойства:
\[\begin{aligned}
\vec a\cdot\vec b&=\vec b\cdot\vec a,\\
(\vec a+\vec b)\cdot\vec c
&=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c,\\
(\lambda\vec a)\cdot\vec b
&=\lambda(\vec a\cdot\vec b)
\end{aligned}\]
Для ненулевых векторов
\[\boxed{
\displaystyle
\cos\varphi
=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lVert \vec a \rVert\,\lVert \vec b \rVert}
}\]
Знак произведения сразу сообщает вид угла:
Знак произведения | Вид угла |
|---|
\(\vec a\cdot\vec b>0\) | \(\varphi<90^\circ\) |
\(\vec a\cdot\vec b=0\) | \(\varphi=90^\circ\) |
\(\vec a\cdot\vec b<0\) | \(\varphi>90^\circ\) |
Знак скалярного произведения различает острый, прямой и тупой углы