3 Операции над векторами
Операции над векторами
Пусть \(\vec a=(a_1,\ldots,a_n)\), \(\vec b=(b_1,\ldots,b_n)\), \(\lambda\in\R\). Операции выполняются покоординатно:
\[\begin{aligned}
\vec a+\vec b&=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\\
\vec a-\vec b&=(a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n),\\
\lambda\vec a&=(\lambda a_1,\ldots,\lambda a_n)
\end{aligned}\]
Геометрически сумма строится по правилу треугольника или параллелограмма. При умножении на \(\lambda\) длина умножается на \(|\lambda|\); если \(\lambda<0\), направление дополнительно меняется на противоположное.
Операции подчиняются привычным законам:
\[\begin{gathered}
\vec a+\vec b=\vec b+\vec a,
\qquad
(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c),\\
\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b,
\qquad
(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a
\end{gathered}\]
Полезное координатное следствие: середина отрезка \(AB\) имеет радиус-вектор
\[\overrightarrow{OM}
=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}2,\]
то есть
\[M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)\]