10 Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве

Плоскость можно задать точкой и двумя неколлинеарными направляющими векторами либо точкой и ненулевым нормальным вектором.

Пусть $M_0(x_0,y_0,z_0)$ — точка плоскости, а $\vec u$ и $\vec v$ — два её неколлинеарных направления. Здесь $\vec r=\overrightarrow{OM}$ — радиус-вектор произвольной точки $M$ плоскости, а $\vec r_0=\overrightarrow{OM_0}$ — радиус-вектор фиксированной точки $M_0$ . Тогда векторное уравнение имеет вид

\vec r=\vec r_0+s\vec u+t\vec v, \qquad s,t\in\R

Это сразу даёт параметрические координатные уравнения.

Нормаль можно построить как

\vec n=\vec u\times\vec v

Каждый вектор $\vec r-\vec r_0$ , лежащий в плоскости, ортогонален $\vec n$ , поэтому нормальное уравнение равно

\boxed{(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0}

Если $\vec n=(A,B,C)$ , получаем координатную форму

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,

или общее уравнение

Ax+By+Cz+D=0,

где $(A,B,C)\ne(0,0,0)$ .

LaTeX — Два направления плоскости и её нормаль

Если плоскость проходит через три неколлинеарные точки $A,B,C$ , то

\vec u=\overrightarrow{AB}, \qquad \vec v=\overrightarrow{AC}, \qquad \vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

Эквивалентная запись через определитель:

\det\begin{pmatrix} x-x_A&y-y_A&z-z_A\\ x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\ x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}=0