18 Решения самостоятельных задач
Решения самостоятельных задач
Задача 1. \[\overrightarrow{CD}
=(2-(-2),-2-1,4-4)=(4,-3,0)\] Следовательно, \[\rho(C,D)=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5,\] \[\vec e_{CD}=\left(\frac45,-\frac35,0\right)\] Середина отрезка: \[M\left(\frac{-2+2}{2},\frac{1+(-2)}2,\frac{4+4}{2}\right)
=\left(0,-\frac12,4\right)\] |
Задача 2. \[\vec a\cdot\vec b=2+2+4=8,
\qquad
\lVert \vec a \rVert=\lVert \vec b \rVert=3\] Поэтому \[\cos\varphi=\frac89,
\qquad
\varphi=\arccos\frac89\] Коэффициент \(\alpha\): \[\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lVert \vec b \rVert^{2}}=\frac89\] Скалярная проекция: \[\mathop{\text{пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a=\frac83\] Векторная проекция: \[\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a
=\frac89(1,2,2)
=\left(\frac89,\frac{16}{9},\frac{16}{9}\right)\] Перпендикулярная составляющая: \[\vec a_{\perp}
=\left(\frac{10}{9},-\frac79,\frac29\right)\] Проверка: \[\vec a_{\perp}\cdot\vec b
=\frac{10}{9}-\frac{14}{9}+\frac49=0\] |
Задача 3. \[\overrightarrow{AB}=(2,1,0),
\qquad
\overrightarrow{AC}=(1,0,2)\] \[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
=\bigl(
1\cdot2-0\cdot0,
0\cdot1-2\cdot2,
2\cdot0-1\cdot1
\bigr)
=(2,-4,-1)\] Его длина равна \(\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}\), поэтому \[S_{ABC}=\frac{\sqrt{21}}2\] Два единичных нормальных вектора: \[\vec n_1=\frac1{\sqrt{21}}(2,-4,-1),
\qquad
\vec n_2=-\vec n_1\] |
Задача 4. Замечаем, что \[\vec c=2\vec a+\vec b,\] поэтому первая тройка компланарна и \[\left(\vec a,\vec b,\vec c\right)=0\] Для второй тройки \[\left(\vec a,\vec b,\vec d\right)
=\det\begin{pmatrix}
1&1&0\\
0&1&1\\
2&3&2
\end{pmatrix}
=1(1\cdot2-1\cdot3)-1(0\cdot2-1\cdot2)
=-1+2=1\] Она некомпланарна, а объём параллелепипеда равен \(1\). |
Задача 5. 1. Направляющий вектор прямой: \[\overrightarrow{PQ}=(-3,4)\] Параметрическая форма: \[\begin{cases}
x=2-3t,\\
y=-1+4t
\end{cases}\] Нормалью служит \((4,3)\), поэтому \[4(x-2)+3(y+1)=0,\] или \[4x+3y-5=0\] 2. Нормаль искомой плоскости: \[\vec u\times\vec v
=(1,0,1)\times(0,2,1)
=\bigl(
0\cdot1-1\cdot2,
1\cdot0-1\cdot1,
1\cdot2-0\cdot0
\bigr)
=(-2,-1,2)\] Отсюда \[-2(x-1)-(y-1)+2z=0,\] что после умножения на \(-1\) даёт \[2x+y-2z-3=0\] 3. На прямой \((x,y,z)=(t,1,2t)\). Подстановка в плоскость даёт \[2t+1-4t-3=0,
\qquad
t=-1\] Точка пересечения: \[H=(-1,1,-2)\] |
Задача 6. 1. Для точки \(P(1,2,-1)\): \[\rho(P,\alpha)
=\frac{|2\cdot1-2+2(-1)-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}
=\frac73\] 2. Обозначим \[\vec a=(1,0,0),\quad
\vec u=(1,1,0),\quad
\vec b=(0,1,2),\quad
\vec v=(1,-1,0)\] Тогда \[\vec b-\vec a=(-1,1,2),
\qquad
\vec u\times\vec v=(0,0,-2)\] Смешанное произведение равно \[(\vec b-\vec a)\cdot(\vec u\times\vec v)=-4\ne0\] Направления неколлинеарны, а прямые некомпланарны, следовательно, они скрещиваются. Расстояние: \[\rho(\ell_1,\ell_2)
=\frac{|-4|}{\sqrt{(-2)^2}}=2\] |