12 Взаимное положение и углы

Взаимное положение и углы

Взаимное положение удобно определять по направляющим и нормальным векторам, а затем — при необходимости — проверять принадлежность точки или решать систему параметрических уравнений.

Две прямые

Пусть

\ell_1:\ \vec r=\vec a+t\vec u, \qquad \ell_2:\ \vec r=\vec b+s\vec v

Тогда:

$\vec u\times\vec v=\vec{0}$ — направления параллельны; прямые либо параллельны, либо совпадают;
если направления неколлинеарны и уравнение
$\vec a+t\vec u=\vec b+s\vec v$
имеет решение, прямые пересекаются;
в $\R^3$ неколлинеарные прямые без общей точки скрещиваются.

Компланарность двух пространственных прямых проверяется смешанным произведением:

\left(\vec{b-a},\vec u,\vec v\right)=0

Если направления неколлинеарны и это равенство выполнено, прямые пересекаются; если произведение ненулевое, прямые скрещиваются.

LaTeX — Пространственные модели взаимного положения двух различных прямых

Пример

Классифицируем пространственные прямые

\ell_1:\ \vec r=t(1,1,1), \qquad \ell_2:\ \vec r=(1,0,1)+s(-1,1,-1)

Их направляющие векторы

\vec u=(1,1,1), \qquad \vec v=(-1,1,-1)

не коллинеарны, поскольку

\vec u\times\vec v=(-2,0,2)\ne\vec{0}

Для поиска общей точки приравняем координаты:

\begin{cases} t+s=1,\\ t-s=0,\\ t+s=1 \end{cases}

Расширенная матрица системы по неизвестным $t,s$ имеет вид

Вычитая первую строку из второй и третьей, получаем переход

Следовательно, $-2s=-1$ , откуда $s=1/2$ и $t=1/2$ . Одна и та же точка

\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)

получается на обеих прямых, поэтому прямые пересекаются.

Угол между прямыми выбирают острым или прямым, поэтому

\cos\varphi =\frac{|\vec u\cdot\vec v|} {\lVert \vec u \rVert\,\lVert \vec v \rVert}, \qquad 0\le\varphi\le\frac\pi2

Прямая и плоскость

Пусть $\vec v$ — направление прямой, а $\vec n$ — нормаль плоскости.

Если $\vec v\cdot\vec n\ne0$ , прямая пересекает плоскость в одной точке.
Если $\vec v\cdot\vec n=0$ , прямая параллельна плоскости или целиком лежит в ней. Для различения достаточно подставить одну точку прямой в уравнение плоскости.
Если $\vec v$ коллинеарен $\vec n$ , прямая перпендикулярна плоскости.

Контрпример: почему одного условия недостаточно. Одного равенства $\vec v\cdot\vec n=0$ недостаточно для окончательной классификации. Рассмотрим плоскость

\alpha:\ z=0, \qquad \vec n=(0,0,1),

и две прямые с одним направлением $\vec v=(1,0,0)$ :

\ell_1:\ \vec r=t(1,0,0), \qquad \ell_2:\ \vec r=(0,0,1)+t(1,0,0)

Для обеих прямых $\vec v\cdot\vec n=0$ . Однако точка $(0,0,0)$ первой прямой удовлетворяет уравнению $z=0$ , поэтому $\ell_1$ целиком лежит в плоскости. Точка $(0,0,1)$ второй прямой уравнению не удовлетворяет, поэтому $\ell_2$ проходит параллельно плоскости вне неё.

Для угла $\alpha\in[0,\pi/2]$ между прямой и плоскостью

\sin\alpha =\frac{|\vec v\cdot\vec n|} {\lVert \vec v \rVert\,\lVert \vec n \rVert}

Здесь используется синус, потому что $\alpha$ дополняет угол между $\vec v$ и нормалью до $90^\circ$ .

Две плоскости

Пусть их нормали равны $\vec n_1$ и $\vec n_2$ .

Если $\vec n_1\times\vec n_2=\vec{0}$ , плоскости параллельны или совпадают.
Иначе плоскости пересекаются по прямой, направленной вдоль $\vec n_1\times\vec n_2$ .

Острый угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями:

\cos\beta =\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|} {\lVert \vec n_1 \rVert\,\lVert \vec n_2 \rVert}