11 Прямая в пространстве

Прямая в пространстве

В пространстве одной общей линейной связи $Ax+By+Cz+D=0$ недостаточно для прямой: она задаёт плоскость. Пространственную прямую удобнее всего описывать точкой $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и ненулевым направляющим вектором $\vec v=(p,q,r)$ .

Для произвольной точки $M(x,y,z)$ прямой обозначим $\vec r=\overrightarrow{OM}$ , а для фиксированной точки $M_0$ — $\vec r_0=\overrightarrow{OM_0}$ .

Векторная форма:

\vec r=\vec r_0+t\vec v, \qquad t\in\R

Параметрическая форма:

\begin{cases} x=x_0+pt,\\ y=y_0+qt,\\ z=z_0+rt \end{cases}

Если все координаты направления ненулевые, каноническая форма равна

\frac{x-x_0}{p} =\frac{y-y_0}{q} =\frac{z-z_0}{r}

При нулевой координате направления соответствующую координату точки фиксируют отдельным равенством.

Через две различные точки $A$ и $B$ проходит единственная прямая с направлением

\vec v=\overrightarrow{AB}=B-A

Прямую также можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей:

\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}

Её направляющий вектор параллелен $\vec n_1\times\vec n_2$ , где $\vec n_1$ и $\vec n_2$ — нормали плоскостей. Чтобы получить параметрическое уравнение прямой, нужно также найти одну общую точку плоскостей. Её получают решением системы двух уравнений с тремя неизвестными. После решения системы одну из координат можно выбрать параметром; остальные выражаются через неё.