13 Расстояния до прямой и плоскости

Расстояния до прямой и плоскости

Расстояние — длина кратчайшего соединяющего отрезка. Если расстояние ненулевое, кратчайший соединяющий отрезок перпендикулярен прямой или плоскости. Формулы ниже являются разными способами вычислить длину перпендикулярной составляющей.

От точки до прямой на плоскости

Для точки $P(x_0,y_0)$ и прямой

\ell:\ Ax+By+C=0, \qquad (A,B)\ne(0,0)

расстояние равно

\rho(P,\ell) =\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Числитель показывает отклонение точки от уравнения прямой, а знаменатель нормирует длину нормали $(A,B)$ .

Если прямая задана точкой $A$ и направлением $\vec v=(v_1,v_2)$ , то при $\vec v\ne\vec{0}$ эквивалентная формула равна

\rho(P,\ell) =\frac{|\det(\vec v,\overrightarrow{AP})|}{\lVert \vec v \rVert}

Здесь $\det(\vec v,\overrightarrow{AP})$ — определитель порядка $2\times2$ , составленный из координат двух векторов. Модуль этого определителя равен площади построенного на них параллелограмма, а деление на основание $\lVert \vec v \rVert$ даёт его высоту.

Основание перпендикуляра к прямой $Ax+By+C=0$ можно найти непосредственно:

H=P-\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}(A,B)

От точки до прямой в пространстве

Пусть $\ell$ проходит через $A$ и направлена вдоль $\vec v\ne\vec{0}$ . Тогда

\rho(P,\ell) =\frac{\lVert \overrightarrow{AP}\times\vec v \rVert}{\lVert \vec v \rVert}

Это снова «площадь параллелограмма, делённая на основание».

LaTeX — Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра $PH$

Пример

Найдём расстояние от точки $P(1,2,3)$ до пространственной прямой

\ell:\ \vec r=t(1,0,1)

Возьмём на прямой точку $A=(0,0,0)$ . Тогда

\overrightarrow{AP}=(1,2,3), \qquad \vec v=(1,0,1),

\overrightarrow{AP}\times\vec v =(2,2,-2)

По формуле площади

\rho(P,\ell) =\frac{\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}}{\sqrt{1^2+1^2}} =\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt6

Проверим результат через основание перпендикуляра. Коэффициент $\alpha$ при $\vec v$ равен

\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec v}{\lVert \vec v \rVert^{2}} =\frac{1+3}{2}=2,

поэтому

H=A+2\vec v=(2,0,2)

Вектор $\overrightarrow{HP}=(-1,2,1)$ ортогонален направлению прямой, так как $(-1,2,1)\cdot(1,0,1)=0$ , а его длина равна $\sqrt6$ . Оба способа дали один результат.

От точки до плоскости

Для точки $P(x_0,y_0,z_0)$ и плоскости

\alpha:\ Ax+By+Cz+D=0

возьмём любую точку $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ этой плоскости и её нормаль $\vec n=(A,B,C)\ne\vec{0}$ . Кратчайший отрезок направлен вдоль нормали, поэтому расстояние равно модулю компоненты $\overrightarrow{QP}$ вдоль единичной нормали:

\rho(P,\alpha) =\left| \overrightarrow{QP}\cdot\frac{\vec n}{\lVert \vec n \rVert} \right| =\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot\vec n|}{\lVert \vec n \rVert}

Поскольку точка $Q$ удовлетворяет уравнению плоскости,

\begin{aligned} \overrightarrow{QP}\cdot\vec n &=A(x_0-x_Q)+B(y_0-y_Q)+C(z_0-z_Q)=\\ &=Ax_0+By_0+Cz_0+D \end{aligned}

Отсюда получаем координатную формулу

\boxed{ \displaystyle \rho(P,\alpha) =\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} }

Для двух параллельных прямых на плоскости достаточно взять любую точку одной прямой и найти расстояние до другой. То же верно для параллельных плоскостей и для параллельных прямых в пространстве.

Если параллельные плоскости записаны с одинаковыми коэффициентами при $x,y,z$ :

Ax+By+Cz+D_1=0, \qquad Ax+By+Cz+D_2=0,

то

\rho(\alpha_1,\alpha_2) =\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Перед применением формулы коэффициенты нормалей обязательно приводят к одному и тому же масштабу.