Проекция отделяет часть вектора, направленную вдоль выбранной оси или другого вектора.
Пусть \(\vec b\ne\vec{0}\). Разложим \(\vec a\) в сумму параллельной и перпендикулярной составляющих:
\[\vec a=\vec a_{\parallel}+\vec a_{\perp},\]
Поскольку \(\vec a_{\parallel}\) параллелен \(\vec b\), для некоторого числа \(\alpha\)
\[\vec a_{\parallel}=\alpha\vec b.\]
Условие \(\vec a_{\perp}\cdot\vec b=0\) даёт
\[\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lVert \vec b \rVert^{2}}.\]
Число \(\alpha\) является коэффициентом перед самим вектором \(\vec b\). Оно зависит не только от направления, но и от длины выбранного вектора \(\vec b\).
Скалярной проекцией\(\vec a\) на направление \(\vec b\) назовём число
\[\boxed{
\displaystyle
\mathop{\text{пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a
=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lVert \vec b \rVert}
}\]
Если \(\vec a\ne\vec{0}\), то это число равно \(\lVert \vec a \rVert\cos\varphi\). Его знак показывает, совпадает ли направление проекции с направлением \(\vec b\).
В соответствии с обозначениями курса векторную проекцию записываем как \(\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a\). Она равна
\[\boxed{
\displaystyle
\vec a_{\parallel}=\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a
=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lVert \vec b \rVert^{2}}\vec b
}\]
Таким образом, \(\alpha\) и \(\mathop{\text{пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a\) — числа, а \(\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a\) — вектор. Все три формулы требуют \(\vec b\ne\vec{0}\).
В конспектах курса ортогональная проекция вводится для произвольного подпространства \(U\):
Проекция на направление \(\vec b\) — частный случай этой конструкции для одномерного подпространства \(U=\operatorname{span}\{\vec b\}\). Поэтому запись \(\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a\), принятая в курсе, буквально означает: «проекция вектора \(\vec a\) на направление, заданное вектором \(\vec b\)».
Ортогональное разложение вектора
Проекция лежит вдоль \(\vec b\), а остаток \(\vec a_{\perp}\) перпендикулярен \(\vec b\).
Если прямая проходит через точку \(A\) и имеет направляющий вектор \(\vec v\), то основание перпендикуляра из точки \(P\) на эту прямую можно найти как
\[H=A+\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec v}\overrightarrow{AP}
=A+\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec v}{\lVert \vec v \rVert^{2}}\vec v\]
Эта формула позже приведёт к формулам расстояния до прямой.
